Lượng giác Ví dụ

$\cos (6 x) + \cos (4 x)$

Bước 1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 x$ .

$\cos (2 (3 x)) + \cos (4 x)$

Bước 1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Sử dụng đẳng thức góc nhân ba để chuyển đổi $\cos (3 x)$ thành $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$2 {(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))}^{2} - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.2.2

Viết lại ${(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))}^{2}$ ở dạng $(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$ .

$2 ((4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.2.3

Khai triển $(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.2.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.2.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.2.4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 (4 \cdot 4 \cos^{3} (x) \cos^{3} (x) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.2.4.1.2

Nhân $\cos^{3} (x)$ với $\cos^{3} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1.2.1

Di chuyển $\cos^{3} (x)$ .

$2 (4 \cdot 4 (\cos^{3} (x) \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.2.4.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 (4 \cdot 4 {\cos (x)}^{3 + 3} + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.2.4.1.2.3

Cộng $3$ và $3$ .

$2 (4 \cdot 4 \cos^{6} (x) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.2.4.1.3

Nhân $4$ với $4$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.2.4.1.4

Nhân $\cos^{3} (x)$ với $\cos (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1.4.1

Di chuyển $\cos (x)$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) + 4 (\cos (x) \cos^{3} (x)) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.2.4.1.4.2

Nhân $\cos (x)$ với $\cos^{3} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1.4.2.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) + 4 (\cos^{1} (x) \cos^{3} (x)) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.2.4.1.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 (16 \cos^{6} (x) + 4 {\cos (x)}^{1 + 3} \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.2.4.1.4.3

Cộng $1$ và $3$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) + 4 \cos^{4} (x) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.2.4.1.5

Nhân $- 3$ với $4$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.2.4.1.6

Nhân $\cos (x)$ với $\cos^{3} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1.6.1

Di chuyển $\cos^{3} (x)$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 (\cos^{3} (x) \cos (x)) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.2.4.1.6.2

Nhân $\cos^{3} (x)$ với $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1.6.2.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 (\cos^{3} (x) \cos^{1} (x)) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.2.4.1.6.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 {\cos (x)}^{3 + 1} \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.2.4.1.6.3

Cộng $3$ và $1$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos^{4} (x) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.2.4.1.7

Nhân $4$ với $- 3$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.2.4.1.8

Nhân $- 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1.8.1

Nhân $- 3$ với $- 3$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 \cos (x) \cos (x)) - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.2.4.1.8.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 (\cos^{1} (x) \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.2.4.1.8.3

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.2.4.1.8.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 {\cos (x)}^{1 + 1}) - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.2.4.1.8.5

Cộng $1$ và $1$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 \cos^{2} (x)) - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.2.4.2

Trừ $12 \cos^{4} (x)$ khỏi $- 12 \cos^{4} (x)$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 24 \cos^{4} (x) + 9 \cos^{2} (x)) - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.2.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (16 \cos^{6} (x)) + 2 (- 24 \cos^{4} (x)) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Nhân $16$ với $2$ .

$32 \cos^{6} (x) + 2 (- 24 \cos^{4} (x)) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.2.6.2

Nhân $- 24$ với $2$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.2.6.3

Nhân $9$ với $2$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + \cos (4 x)$

Bước 1.3

Đưa $2$ ra ngoài $4 x$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + \cos (2 (2 x))$

Bước 1.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Sử dụng đẳng thức góc nhân đôi để chuyển $\cos (2 x)$ thành $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 {(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2} - 1$

Bước 1.4.2

Viết lại ${(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2}$ ở dạng $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 ((2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1$

Bước 1.4.3

Khai triển $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x) - 1) - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1$

Bước 1.4.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1$

Bước 1.4.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1$

Bước 1.4.4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot 2 \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1$

Bước 1.4.4.1.2

Nhân $\cos^{2} (x)$ với $\cos^{2} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.1.2.1

Di chuyển $\cos^{2} (x)$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot 2 (\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1$

Bước 1.4.4.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot 2 {\cos (x)}^{2 + 2} + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1$

Bước 1.4.4.1.2.3

Cộng $2$ và $2$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot 2 \cos^{4} (x) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1$

Bước 1.4.4.1.3

Nhân $2$ với $2$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1$

Bước 1.4.4.1.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1$

Bước 1.4.4.1.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 \cdot - 1) - 1$

Bước 1.4.4.1.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1) - 1$

Bước 1.4.4.2

Trừ $2 \cos^{2} (x)$ khỏi $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 4 \cos^{2} (x) + 1) - 1$

Bước 1.4.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x)) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1$

Bước 1.4.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.6.1

Nhân $4$ với $2$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1$

Bước 1.4.6.2

Nhân $- 4$ với $2$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 \cdot 1 - 1$

Bước 1.4.6.3

Nhân $2$ với $1$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 - 1$

Bước 1.5

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1$

Bước 2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) + 0 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x)$

Bước 2.1.2

Cộng $32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x)$ và $0$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x)$

Bước 2.2

Cộng $- 48 \cos^{4} (x)$ và $8 \cos^{4} (x)$ .

$32 \cos^{6} (x) - 40 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 8 \cos^{2} (x)$

Bước 2.3

Trừ $8 \cos^{2} (x)$ khỏi $18 \cos^{2} (x)$ .

$32 \cos^{6} (x) - 40 \cos^{4} (x) + 10 \cos^{2} (x)$