Lượng giác Ví dụ

$z^{3} + 8 = 0$

Bước 1

Trừ $8$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$z^{3} = - 8$

Bước 2

Cộng $8$ cho cả hai vế của phương trình.

$z^{3} + 8 = 0$

Bước 3

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$z^{3} + 2^{3} = 0$

Bước 3.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức tổng các lập phương, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ với $a = z$ và $b = 2$ .

$(z + 2) (z^{2} - z \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$(z + 2) (z^{2} - 2 z + 2^{2}) = 0$

Bước 3.3.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$(z + 2) (z^{2} - 2 z + 4) = 0$

Bước 4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$z + 2 = 0$

$z^{2} - 2 z + 4 = 0$

Bước 5

Đặt $z + 2$ bằng $0$ và giải tìm $z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $z + 2$ bằng với $0$ .

$z + 2 = 0$

Bước 5.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$z = - 2$

Bước 6

Đặt $z^{2} - 2 z + 4$ bằng $0$ và giải tìm $z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $z^{2} - 2 z + 4$ bằng với $0$ .

$z^{2} - 2 z + 4 = 0$

Bước 6.2

Giải $z^{2} - 2 z + 4 = 0$ để tìm $z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 6.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 2$ , và $c = 4$ vào công thức bậc hai và giải tìm $z$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $4$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.3.1.3

Trừ $16$ khỏi $4$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.3.1.4

Viết lại $- 12$ ở dạng $- 1 (12)$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (12)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.3.1.7

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.3.1.7.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.3.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$z = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.3.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$z = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$z = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 6.2.3.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$z = 1 \pm i \sqrt{3}$

Bước 6.2.4

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$z = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Bước 7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(z + 2) (z^{2} - 2 z + 4) = 0$ đúng.

$z = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$