Lượng giác Ví dụ

$\cot^{2} (x) + 3 \csc (x) = - 3$

Bước 1

Thay thế $\cot^{2} (x)$ bằng $\csc^{2} (x) - 1$ dựa trên đẳng thức $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) + 3 \csc (x) = - 3$

Bước 2

Sắp xếp lại đa thức.

$\csc^{2} (x) + 3 \csc (x) - 1 = - 3$

Bước 3

Thay $u$ bằng $\csc (x)$ .

${(u)}^{2} + 3 (u) - 1 = - 3$

Bước 4

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$u^{2} + 3 u - 1 + 3 = 0$

Bước 5

Cộng $- 1$ và $3$ .

$u^{2} + 3 u + 2 = 0$

Bước 6

Phân tích $u^{2} + 3 u + 2$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $2$ và tổng của chúng là $3$ .

$1, 2$

Bước 6.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(u + 1) (u + 2) = 0$

Bước 7

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$u + 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Bước 8

Đặt $u + 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đặt $u + 1$ bằng với $0$ .

$u + 1 = 0$

Bước 8.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u = - 1$

Bước 9

Đặt $u + 2$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Đặt $u + 2$ bằng với $0$ .

$u + 2 = 0$

Bước 9.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u = - 2$

Bước 10

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(u + 1) (u + 2) = 0$ đúng.

$u = - 1, - 2$

Bước 11

Thay $\csc (x)$ bằng $u$ .

$\csc (x) = - 1, - 2$

Bước 12

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\csc (x) = - 1$

$\csc (x) = - 2$

Bước 13

Giải tìm $x$ trong $\csc (x) = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy cosecant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ bên trong cosecant.

$x = arccsc (- 1)$

Bước 13.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Giá trị chính xác của $arccsc (- 1)$ là $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Bước 13.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Bước 13.4

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Bước 13.4.2

Góc tìm được $\frac{3 π}{2}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 13.5

Tìm chu kỳ của $\csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 13.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 13.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 13.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 13.6

Cộng $2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.6.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{2}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Bước 13.6.2

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 13.6.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.6.3.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 13.6.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 13.6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.6.4.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Bước 13.6.4.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Bước 13.6.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 13.7

Chu kỳ của hàm $\csc (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 14

Giải tìm $x$ trong $\csc (x) = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy cosecant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ bên trong cosecant.

$x = arccsc (- 2)$

Bước 14.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Giá trị chính xác của $arccsc (- 2)$ là $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Bước 14.3

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Bước 14.4

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Bước 14.4.2

Góc tìm được $\frac{7 π}{6}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Bước 14.5

Tìm chu kỳ của $\csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 14.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 14.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 14.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 14.6

Cộng $2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.6.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{6}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Bước 14.6.2

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 14.6.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.6.3.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 14.6.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Bước 14.6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.6.4.1

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Bước 14.6.4.2

Trừ $π$ khỏi $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Bước 14.6.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{11 π}{6}$

Bước 14.7

Chu kỳ của hàm $\csc (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 15

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 16

Hợp nhất $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ và $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ để $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ .

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$