Lượng giác Ví dụ

$\cos (x) + \cos (3 x) = 0$

Bước 1

Rút gọn vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng đẳng thức góc nhân ba để chuyển đổi $\cos (3 x)$ thành $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$\cos (x) + 4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x) = 0$

Bước 1.2

Trừ $3 \cos (x)$ khỏi $\cos (x)$ .

$- 2 \cos (x) + 4 \cos^{3} (x) = 0$

Bước 2

Đưa $2 \cos (x)$ ra ngoài $- 2 \cos (x) + 4 \cos^{3} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $2 \cos (x)$ ra ngoài $- 2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot - 1 + 4 \cos^{3} (x) = 0$

Bước 2.2

Đưa $2 \cos (x)$ ra ngoài $4 \cos^{3} (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot - 1 + 2 \cos (x) (2 \cos^{2} (x)) = 0$

Bước 2.3

Đưa $2 \cos (x)$ ra ngoài $2 \cos (x) \cdot - 1 + 2 \cos (x) (2 \cos^{2} (x))$ .

$2 \cos (x) (- 1 + 2 \cos^{2} (x)) = 0$

Bước 3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- 1 + 2 \cos^{2} (x) = 0$

Bước 4

Đặt $\cos (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $\cos (x)$ bằng với $0$ .

$\cos (x) = 0$

Bước 4.2

Giải $\cos (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (0)$

Bước 4.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 4.2.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 4.2.4

Rút gọn $2 π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 4.2.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 4.2.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 4.2.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 4.2.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 4.2.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 4.2.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 4.2.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 4.2.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 4.2.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5

Đặt $- 1 + 2 \cos^{2} (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $- 1 + 2 \cos^{2} (x)$ bằng với $0$ .

$- 1 + 2 \cos^{2} (x) = 0$

Bước 5.2

Giải $- 1 + 2 \cos^{2} (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 \cos^{2} (x) = 1$

Bước 5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos^{2} (x) = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos^{2} (x) = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 5.2.2.2.1.2

Chia $\cos^{2} (x)$ cho $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Bước 5.2.4

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Viết lại $\sqrt{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Bước 5.2.4.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Bước 5.2.4.3

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 5.2.4.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.4.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 5.2.4.4.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Bước 5.2.4.4.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Bước 5.2.4.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 5.2.4.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 5.2.4.4.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 5.2.4.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 5.2.4.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.2.4.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.2.4.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Bước 5.2.4.4.6.5

Tính số mũ.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 5.2.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 5.2.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 5.2.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 5.2.6

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 5.2.7

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 5.2.7.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ là $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Bước 5.2.7.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Bước 5.2.7.4

Rút gọn $2 π - \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 5.2.7.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 5.2.7.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Bước 5.2.7.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.4.3.1

Nhân $4$ với $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Bước 5.2.7.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Bước 5.2.7.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 5.2.7.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 5.2.7.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 5.2.7.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 5.2.7.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5.2.8

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 5.2.8.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ là $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 5.2.8.3

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Bước 5.2.8.4

Rút gọn $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Bước 5.2.8.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Bước 5.2.8.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Bước 5.2.8.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.4.3.1

Nhân $4$ với $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Bước 5.2.8.4.3.2

Trừ $3 π$ khỏi $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Bước 5.2.8.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 5.2.8.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 5.2.8.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 5.2.8.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 5.2.8.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5.2.9

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5.2.10

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $2 \cos (x) (- 1 + 2 \cos^{2} (x)) = 0$ đúng.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 7

Hợp nhất $\frac{π}{2} + 2 π n$ và $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ để $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$