Lượng giác Ví dụ

$\frac{\sin^{2} (x) - \tan^{2} (x)}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Bước 1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \sin (x)$ và $b = \tan (x)$ .

$\frac{(\sin (x) + \tan (x)) (\sin (x) - \tan (x))}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{(\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) - \tan (x))}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Bước 1.2.2

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Nhân với $1$ .

$\frac{(\sin (x) \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) - \tan (x))}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Bước 1.2.2.2

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{(\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}) (\sin (x) - \tan (x))}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Bước 1.2.2.3

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (\sin (x) - \tan (x))}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Bước 1.2.3

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\sin (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Bước 1.2.4

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Nhân với $1$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (\sin (x) \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Bước 1.2.4.2

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)}))}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Bước 1.2.4.3

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)})$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (\sin (x) (1 - \frac{1}{\cos (x)}))}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

$\frac{\sin (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) \sin (x) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Bước 1.2.5

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Bước 1.2.5.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Bước 1.2.5.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Bước 1.2.5.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Bước 2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} \sin^{2} (x)}$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \sin^{2} (x)}$

Bước 3

Kết hợp $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ và $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Bước 4

Nhân $\sin^{2} (x)$ với $\sin^{2} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\frac{{\sin (x)}^{2 + 2}}{\cos^{2} (x)}}$

Bước 4.2

Cộng $2$ và $2$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Bước 5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

Bước 6

Triệt tiêu thừa số chung $\sin^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $\sin^{2} (x)$ ra ngoài $\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})$ .

$\sin^{2} (x) ((1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

Bước 6.2

Đưa $\sin^{2} (x)$ ra ngoài $\sin^{4} (x)$ .

$\sin^{2} (x) ((1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Bước 6.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin^{2} (x) ((1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Bước 6.4

Viết lại biểu thức.

$(1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 7

Khai triển $(1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(1 (1 - \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos (x)} (1 - \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos (x)} (1 - \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 8

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$(1 + 1 (- \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 8.1.2

Nhân $- \frac{1}{\cos (x)}$ với $1$ .

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 8.1.3

Nhân $\frac{1}{\cos (x)}$ với $1$ .

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 8.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 8.1.5

Nhân $- \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.5.1

Nhân $\frac{1}{\cos (x)}$ với $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 8.1.5.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 8.1.5.3

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 8.1.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 8.1.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 8.2

Cộng $- \frac{1}{\cos (x)}$ và $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(1 + 0 - \frac{1}{\cos^{2} (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 8.3

Cộng $1$ và $0$ .

$(1 - \frac{1}{\cos^{2} (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 9

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 9.2

Nhân $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ với $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 9.3

Triệt tiêu thừa số chung $\cos^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ vào tử số.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 9.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 9.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - 1 \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Bước 9.4

Viết lại $- 1 \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ ở dạng $- \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Bước 9.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\cos^{2} (x) - 1}{\sin^{2} (x)}$

Bước 9.6

Sắp xếp lại $\cos^{2} (x)$ và $- 1$ .

$\frac{- 1 + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 9.7

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 9.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Bước 9.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Bước 9.10

Viết lại $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ ở dạng $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- (1 - \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Bước 10

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{- \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 11

Triệt tiêu thừa số chung $\sin^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 11.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- 1$