Lượng giác Ví dụ

$\sin (x) + \cos (x) = - \sqrt{2}$

Bước 1

Bình phương cả hai vế của phương trình.

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = {(- \sqrt{2})}^{2}$

Bước 2

Rút gọn ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ ở dạng $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) = {(- \sqrt{2})}^{2}$

Bước 2.2

Khai triển $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) = {(- \sqrt{2})}^{2}$

Bước 2.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) = {(- \sqrt{2})}^{2}$

Bước 2.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(- \sqrt{2})}^{2}$

Bước 2.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Nhân $\sin (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(- \sqrt{2})}^{2}$

Bước 2.3.1.1.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(- \sqrt{2})}^{2}$

Bước 2.3.1.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(- \sqrt{2})}^{2}$

Bước 2.3.1.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(- \sqrt{2})}^{2}$

Bước 2.3.1.2

Nhân $\cos (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) = {(- \sqrt{2})}^{2}$

Bước 2.3.1.2.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) = {(- \sqrt{2})}^{2}$

Bước 2.3.1.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} = {(- \sqrt{2})}^{2}$

Bước 2.3.1.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(- \sqrt{2})}^{2}$

Bước 2.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(- \sqrt{2})}^{2}$

Bước 2.3.3

Cộng $\cos (x) \sin (x)$ và $\cos (x) \sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(- \sqrt{2})}^{2}$

Bước 2.4

Di chuyển $\cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) = {(- \sqrt{2})}^{2}$

Bước 2.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$1 + 2 \cos (x) \sin (x) = {(- \sqrt{2})}^{2}$

Bước 2.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Sắp xếp lại $2 \cos (x)$ và $\sin (x)$ .

$1 + \sin (x) (2 \cos (x)) = {(- \sqrt{2})}^{2}$

Bước 2.6.2

Sắp xếp lại $\sin (x)$ và $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) = {(- \sqrt{2})}^{2}$

Bước 2.6.3

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$1 + \sin (2 x) = {(- \sqrt{2})}^{2}$

Bước 3

Rút gọn ${(- \sqrt{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \sqrt{2}$ .

$1 + \sin (2 x) = {(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Bước 3.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$1 + \sin (2 x) = 1 {\sqrt{2}}^{2}$

Bước 3.1.3

Nhân ${\sqrt{2}}^{2}$ với $1$ .

$1 + \sin (2 x) = {\sqrt{2}}^{2}$

Bước 3.2

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \sin (2 x) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Bước 3.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + \sin (2 x) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Bước 3.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$1 + \sin (2 x) = 2^{\frac{2}{2}}$

Bước 3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 + \sin (2 x) = 2^{\frac{2}{2}}$

Bước 3.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$1 + \sin (2 x) = 2^{1}$

Bước 3.2.5

Tính số mũ.

$1 + \sin (2 x) = 2$

Bước 4

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\sin (2 x)$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sin (2 x) = 2 - 1$

Bước 4.2

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\sin (2 x) = 1$

Bước 5

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$2 x = \arcsin (1)$

Bước 6

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (1)$ là $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{π}{2}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{π}{2}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 7.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 7.3.2

Nhân $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Nhân $\frac{π}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Bước 7.3.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Bước 8

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$2 x = π - \frac{π}{2}$

Bước 9

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 9.1.2

Kết hợp $π$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 9.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 9.1.4

Trừ $π$ khỏi $π \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.4.1

Sắp xếp lại $π$ và $2$ .

$2 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Bước 9.1.4.2

Trừ $π$ khỏi $2 \cdot π$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Bước 9.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{π}{2}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{π}{2}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 9.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 9.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 9.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 9.2.3.2

Nhân $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.2.1

Nhân $\frac{π}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Bước 9.2.3.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Bước 10

Tìm chu kỳ của $\sin (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 10.2

Thay thế $b$ với $2$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Bước 10.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Bước 10.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 π}{2}$

Bước 10.4.2

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 11

Chu kỳ của hàm $\sin (2 x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 12

Chứng minh từng đáp án bằng cách thay chúng vào $\sin (x) + \cos (x) = - \sqrt{2}$ và giải.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$