Lượng giác Ví dụ

$\cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) = 0$

Bước 1

Rút gọn vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng đẳng thức góc nhân đôi để chuyển $\cos (2 x)$ thành $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 \cos^{2} (x) = 0$

Bước 1.2

Cộng $2 \cos^{2} (x)$ và $2 \cos^{2} (x)$ .

$- 1 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Bước 2

Phân tích $- 1 + 4 \cos^{2} (x)$ thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $4 \cos^{2} (x)$ ở dạng ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$- 1 + {(2 \cos (x))}^{2} = 0$

Bước 2.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$- 1^{2} + {(2 \cos (x))}^{2} = 0$

Bước 2.3

Sắp xếp lại $- 1^{2}$ và ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

${(2 \cos (x))}^{2} - 1^{2} = 0$

Bước 2.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 2 \cos (x)$ và $b = 1$ .

$(2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Bước 3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Bước 4

Đặt $2 \cos (x) + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $2 \cos (x) + 1$ bằng với $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Bước 4.2

Giải $2 \cos (x) + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 \cos (x) = - 1$

Bước 4.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (x) = - 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (x) = - 1$ cho $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 4.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 4.2.2.2.1.2

Chia $\cos (x)$ cho $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Bước 4.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Bước 4.2.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Bước 4.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arccos (- \frac{1}{2})$ là $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Bước 4.2.5

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Bước 4.2.6

Rút gọn $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Bước 4.2.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Bước 4.2.6.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Bước 4.2.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.3.1

Nhân $3$ với $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Bước 4.2.6.3.2

Trừ $2 π$ khỏi $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Bước 4.2.7

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 4.2.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 4.2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 4.2.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 4.2.8

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5

Đặt $2 \cos (x) - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $2 \cos (x) - 1$ bằng với $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Bước 5.2

Giải $2 \cos (x) - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 \cos (x) = 1$

Bước 5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (x) = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (x) = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 5.2.2.2.1.2

Chia $\cos (x)$ cho $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Bước 5.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arccos (\frac{1}{2})$ là $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Bước 5.2.5

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Bước 5.2.6

Rút gọn $2 π - \frac{π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 5.2.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 5.2.6.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Bước 5.2.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.3.1

Nhân $3$ với $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Bước 5.2.6.3.2

Trừ $π$ khỏi $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Bước 5.2.7

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 5.2.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 5.2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 5.2.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 5.2.8

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) = 0$ đúng.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 7

Hợp nhất các câu trả lời.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hợp nhất $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ và $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ để $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 7.2

Hợp nhất $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ và $\frac{π}{3} + 2 π n$ để $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{π}{3} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$