Lượng giác Ví dụ

${(1 + i)}^{6}$

Bước 1

Sử dụng định lý nhị thức.

$1^{6} + 6 \cdot 1^{5} i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 + 6 \cdot 1^{5} i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Bước 2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 + 6 \cdot 1 i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Bước 2.1.3

Nhân $6$ với $1$ .

$1 + 6 i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Bước 2.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 + 6 i + 15 \cdot 1 i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Bước 2.1.5

Nhân $15$ với $1$ .

$1 + 6 i + 15 i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Bước 2.1.6

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$1 + 6 i + 15 \cdot - 1 + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Bước 2.1.7

Nhân $15$ với $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Bước 2.1.8

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 + 6 i - 15 + 20 \cdot 1 i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Bước 2.1.9

Nhân $20$ với $1$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Bước 2.1.10

Đưa $i^{2}$ ra ngoài.

$1 + 6 i - 15 + 20 (i^{2} \cdot i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Bước 2.1.11

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 (- 1 \cdot i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Bước 2.1.12

Viết lại $- 1 i$ ở dạng $- i$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 (- i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Bước 2.1.13

Nhân $- 1$ với $20$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Bước 2.1.14

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1 i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Bước 2.1.15

Nhân $15$ với $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Bước 2.1.16

Viết lại $i^{4}$ ở dạng $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.16.1

Viết lại $i^{4}$ ở dạng ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 {(i^{2})}^{2} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Bước 2.1.16.2

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 {(- 1)}^{2} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Bước 2.1.16.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1 + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Bước 2.1.17

Nhân $15$ với $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Bước 2.1.18

Nhân $6$ với $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i^{5} + i^{6}$

Bước 2.1.19

Đưa $i^{4}$ ra ngoài.

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 (i^{4} i) + i^{6}$

Bước 2.1.20

Viết lại $i^{4}$ ở dạng $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.20.1

Viết lại $i^{4}$ ở dạng ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 ({(i^{2})}^{2} i) + i^{6}$

Bước 2.1.20.2

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 ({(- 1)}^{2} i) + i^{6}$

Bước 2.1.20.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 (1 i) + i^{6}$

Bước 2.1.21

Nhân $i$ với $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{6}$

Bước 2.1.22

Đưa $i^{4}$ ra ngoài.

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{4} i^{2}$

Bước 2.1.23

Viết lại $i^{4}$ ở dạng $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.23.1

Viết lại $i^{4}$ ở dạng ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + {(i^{2})}^{2} i^{2}$

Bước 2.1.23.2

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + {(- 1)}^{2} i^{2}$

Bước 2.1.23.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + 1 i^{2}$

Bước 2.1.24

Nhân $i^{2}$ với $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{2}$

Bước 2.1.25

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i - 1$

Bước 2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Trừ $15$ khỏi $1$ .

$- 14 + 6 i - 20 i + 15 + 6 i - 1$

Bước 2.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Cộng $- 14$ và $15$ .

$1 + 6 i - 20 i + 6 i - 1$

Bước 2.2.2.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$0 + 6 i - 20 i + 6 i$

Bước 2.2.2.3

Cộng $0$ và $6 i$ .

$6 i - 20 i + 6 i$

Bước 2.2.3

Trừ $20 i$ khỏi $6 i$ .

$- 14 i + 6 i$

Bước 2.2.4

Cộng $- 14 i$ và $6 i$ .

$- 8 i$

Bước 3

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 4

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 5

Thay các giá trị thực tế của $a = 0$ và $b = - 8$ .

$| z | = \sqrt{{(- 8)}^{2}}$

Bước 6

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Bước 6.2

Viết lại $64$ ở dạng $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Bước 6.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| z | = 8$

Bước 7

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{- 8}{0})$

Bước 8

Vì đối số không xác định và $b$ âm, nên góc của điểm trên mặt phẳng phức là $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Bước 9

Thay các giá trị của $θ = \frac{3 π}{2}$ và $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$