Lượng giác Ví dụ

$\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) = - 2$

Bước 1

Thay thế $\sin^{2} (x)$ bằng $1 - \cos^{2} (x)$ dựa trên đẳng thức $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) + 2 \cos (x) = - 2$

Bước 2

Sắp xếp lại đa thức.

$- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = - 2$

Bước 3

Thay $u$ bằng $\cos (x)$ .

$- {(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = - 2$

Bước 4

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$- u^{2} + 2 u + 1 + 2 = 0$

Bước 5

Cộng $1$ và $2$ .

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

Bước 6

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- u^{2} + 2 u + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- u^{2}$ .

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

Bước 6.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $2 u$ .

$- u^{2} - (- 2 u) + 3 = 0$

Bước 6.1.3

Viết lại $3$ ở dạng $- 1 (- 3)$ .

$- u^{2} - (- 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Bước 6.1.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- u^{2} - (- 2 u)$ .

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Bước 6.1.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (u^{2} - 2 u) - 1 (- 3)$ .

$- (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

Bước 6.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Phân tích $u^{2} - 2 u - 3$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 3$ và tổng của chúng là $- 2$ .

$- 3, 1$

Bước 6.2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$- ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Bước 6.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- (u - 3) (u + 1) = 0$

Bước 7

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

Bước 8

Đặt $u - 3$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đặt $u - 3$ bằng với $0$ .

$u - 3 = 0$

Bước 8.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 3$

Bước 9

Đặt $u + 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Đặt $u + 1$ bằng với $0$ .

$u + 1 = 0$

Bước 9.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u = - 1$

Bước 10

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- (u - 3) (u + 1) = 0$ đúng.

$u = 3, - 1$

Bước 11

Thay $\cos (x)$ bằng $u$ .

$\cos (x) = 3, - 1$

Bước 12

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\cos (x) = 3$

$\cos (x) = - 1$

Bước 13

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Khoảng biến thiên của cosin là $- 1 \leq y \leq 1$ . Vì $3$ không nằm trong khoảng biến thiên này, nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 14

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (- 1)$

Bước 14.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (- 1)$ là $π$ .

$x = π$

Bước 14.3

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π - π$

Bước 14.4

Trừ $π$ khỏi $2 π$ .

$x = π$

Bước 14.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 14.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 14.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 14.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 14.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 15

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$