Lượng giác Ví dụ

$\cot^{2} (x) + 4 \csc (x) = - 5$

Bước 1

Thay thế $\cot^{2} (x)$ bằng $\csc^{2} (x) - 1$ dựa trên đẳng thức $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) + 4 \csc (x) = - 5$

Bước 2

Sắp xếp lại đa thức.

$\csc^{2} (x) + 4 \csc (x) - 1 = - 5$

Bước 3

Thay $u$ bằng $\csc (x)$ .

${(u)}^{2} + 4 (u) - 1 = - 5$

Bước 4

Cộng $5$ cho cả hai vế của phương trình.

$u^{2} + 4 u - 1 + 5 = 0$

Bước 5

Cộng $- 1$ và $5$ .

$u^{2} + 4 u + 4 = 0$

Bước 6

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$u^{2} + 4 u + 2^{2} = 0$

Bước 6.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Bước 6.3

Viết lại đa thức này.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Bước 6.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = u$ và $b = 2$ .

${(u + 2)}^{2} = 0$

Bước 7

Đặt $u + 2$ bằng $0$ .

$u + 2 = 0$

Bước 8

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u = - 2$

Bước 9

Thay $\csc (x)$ bằng $u$ .

$\csc (x) = - 2$

Bước 10

Lấy cosecant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ bên trong cosecant.

$x = arccsc (- 2)$

Bước 11

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Giá trị chính xác của $arccsc (- 2)$ là $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Bước 12

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Bước 13

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Bước 13.2

Góc tìm được $\frac{7 π}{6}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Bước 14

Tìm chu kỳ của $\csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 14.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 14.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 14.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 15

Cộng $2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{6}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Bước 15.2

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 15.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 15.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Bước 15.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.1

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Bước 15.4.2

Trừ $π$ khỏi $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Bước 15.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{11 π}{6}$

Bước 16

Chu kỳ của hàm $\csc (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$