Lượng giác Ví dụ

$\cot^{2} (x) = - \frac{5}{2} \cdot \csc (x) - 2$

Bước 1

Thay thế $\cot^{2} (x)$ bằng $\csc^{2} (x) - 1$ dựa trên đẳng thức $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) - 1 = - \frac{5}{2} \cdot \csc (x) - 2$

Bước 2

Thay $u$ bằng $\csc (x)$ .

${(u)}^{2} - 1 = - \frac{5}{2} u - 2$

Bước 3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $u$ và $\frac{5}{2}$ .

$u^{2} - 1 = - \frac{u \cdot 5}{2} - 2$

Bước 3.2

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $u$ .

$u^{2} - 1 = - \frac{5 u}{2} - 2$

Bước 4

Cộng $\frac{5 u}{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$u^{2} - 1 + \frac{5 u}{2} = - 2$

Bước 5

Di chuyển tất cả các số hạng sang vế trái của phương trình và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$u^{2} - 1 + \frac{5 u}{2} + 2 = 0$

Bước 5.2

Cộng $- 1$ và $2$ .

$u^{2} + \frac{5 u}{2} + 1 = 0$

Bước 6

Nhân với mẫu số chung nhỏ nhất $2$ , sau đó rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 u^{2} + 2 \frac{5 u}{2} + 2 \cdot 1 = 0$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 u^{2} + 2 \frac{5 u}{2} + 2 \cdot 1 = 0$

Bước 6.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$2 u^{2} + 5 u + 2 \cdot 1 = 0$

Bước 6.2.2

Nhân $2$ với $1$ .

$2 u^{2} + 5 u + 2 = 0$

Bước 7

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 8

Thay các giá trị $a = 2$ , $b = 5$ , và $c = 2$ vào công thức bậc hai và giải tìm $u$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Bước 9.1.2

Nhân $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Nhân $- 4$ với $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Bước 9.1.2.2

Nhân $- 8$ với $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2 \cdot 2}$

Bước 9.1.3

Trừ $16$ khỏi $25$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2}$

Bước 9.1.4

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 \cdot 2}$

Bước 9.1.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$u = \frac{- 5 \pm 3}{2 \cdot 2}$

Bước 9.2

Nhân $2$ với $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm 3}{4}$

Bước 10

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$u = - \frac{1}{2}, - 2$

Bước 11

Thay $\csc (x)$ bằng $u$ .

$\csc (x) = - \frac{1}{2}, - 2$

Bước 12

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\csc (x) = - \frac{1}{2}$

$\csc (x) = - 2$

Bước 13

Giải tìm $x$ trong $\csc (x) = - \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Khoảng biến thiên của cosecant là $y \leq - 1$ và $y \geq 1$ . Vì $- \frac{1}{2}$ không nằm trong khoảng biến thiên này, nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 14

Giải tìm $x$ trong $\csc (x) = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy cosecant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ bên trong cosecant.

$x = arccsc (- 2)$

Bước 14.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Giá trị chính xác của $arccsc (- 2)$ là $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Bước 14.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Bước 14.4

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Bước 14.4.2

Góc tìm được $\frac{7 π}{6}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Bước 14.5

Tìm chu kỳ của $\csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 14.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 14.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 14.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 14.6

Cộng $2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.6.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{6}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Bước 14.6.2

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 14.6.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.6.3.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 14.6.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Bước 14.6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.6.4.1

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Bước 14.6.4.2

Trừ $π$ khỏi $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Bước 14.6.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{11 π}{6}$

Bước 14.7

Chu kỳ của hàm $\csc (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 15

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$