Lượng giác Ví dụ

$\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x) = 1$

Bước 1

Trừ $\cos (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sqrt{3} \sin (x) = 1 - \cos (x)$

Bước 2

Bình phương cả hai vế của phương trình.

${(\sqrt{3} \sin (x))}^{2} = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Bước 3

Rút gọn ${(\sqrt{3} \sin (x))}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\sqrt{3} \sin (x)$ .

${\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Bước 3.2

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Bước 3.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Bước 3.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Bước 3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Bước 3.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$3^{1} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Bước 3.2.5

Tính số mũ.

$3 \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Bước 4

Rút gọn ${(1 - \cos (x))}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại ${(1 - \cos (x))}^{2}$ ở dạng $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ .

$3 \sin^{2} (x) = (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$

Bước 4.2

Khai triển $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 \sin^{2} (x) = 1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))$

Bước 4.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 \sin^{2} (x) = 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))$

Bước 4.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 \sin^{2} (x) = 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))$

Bước 4.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))$

Bước 4.3.1.2

Nhân $- \cos (x)$ với $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))$

Bước 4.3.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x))$

Bước 4.3.1.4

Nhân $- \cos (x) (- \cos (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)$

Bước 4.3.1.4.2

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)$

Bước 4.3.1.4.3

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

Bước 4.3.1.4.4

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Bước 4.3.1.4.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

Bước 4.3.1.4.6

Cộng $1$ và $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Bước 4.3.2

Trừ $\cos (x)$ khỏi $- \cos (x)$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Bước 5

Chuyển tất cả các biểu thức sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 \sin^{2} (x) - 1 = - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Bước 5.2

Cộng $2 \cos (x)$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 \sin^{2} (x) - 1 + 2 \cos (x) = \cos^{2} (x)$

Bước 5.3

Trừ $\cos^{2} (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 \sin^{2} (x) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Bước 6

Thay thế $3 \sin^{2} (x)$ bằng $3 (1 - \cos^{2} (x))$ dựa trên đẳng thức $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Bước 7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Bước 7.2

Nhân $3$ với $1$ .

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Bước 7.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Bước 8

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$- 3 \cos^{2} (x) + 2 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Bước 8.2

Trừ $\cos^{2} (x)$ khỏi $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$- 4 \cos^{2} (x) + 2 + 2 \cos (x) = 0$

Bước 9

Sắp xếp lại đa thức.

$- 4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 2 = 0$

Bước 10

Thay $u$ bằng $\cos (x)$ .

$- 4 {(u)}^{2} + 2 (u) + 2 = 0$

Bước 11

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 4 u^{2} + 2 u + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 4 u^{2}$ .

$- 2 (2 u^{2}) + 2 u + 2 = 0$

Bước 11.1.2

Đưa $- 2$ ra ngoài $2 u$ .

$- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u) + 2 = 0$

Bước 11.1.3

Đưa $- 2$ ra ngoài $2$ .

$- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u) - 2 \cdot - 1 = 0$

Bước 11.1.4

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u)$ .

$- 2 (2 u^{2} - u) - 2 \cdot - 1 = 0$

Bước 11.1.5

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 2 (2 u^{2} - u) - 2 (- 1)$ .

$- 2 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Bước 11.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ và có tổng là $b = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- u$ .

$- 2 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Bước 11.2.1.1.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $1$ cộng $- 2$

$- 2 (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Bước 11.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Bước 11.2.1.1.4

Nhân $u$ với $1$ .

$- 2 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Bước 11.2.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$- 2 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Bước 11.2.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$- 2 (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Bước 11.2.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 u + 1$ .

$- 2 ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Bước 11.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- 2 (2 u + 1) (u - 1) = 0$

Bước 12

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Bước 13

Đặt $2 u + 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Đặt $2 u + 1$ bằng với $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Bước 13.2

Giải $2 u + 1 = 0$ để tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 u = - 1$

Bước 13.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 u = - 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 u = - 1$ cho $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 13.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 13.2.2.2.1.2

Chia $u$ cho $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Bước 13.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$u = - \frac{1}{2}$

Bước 14

Đặt $u - 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Đặt $u - 1$ bằng với $0$ .

$u - 1 = 0$

Bước 14.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 1$

Bước 15

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- 2 (2 u + 1) (u - 1) = 0$ đúng.

$u = - \frac{1}{2}, 1$

Bước 16

Thay $\cos (x)$ bằng $u$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}, 1$

Bước 17

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

$\cos (x) = 1$

Bước 18

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = - \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Bước 18.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (- \frac{1}{2})$ là $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Bước 18.3

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Bước 18.4

Rút gọn $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Bước 18.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Bước 18.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Bước 18.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.4.3.1

Nhân $3$ với $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Bước 18.4.3.2

Trừ $2 π$ khỏi $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Bước 18.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 18.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 18.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 18.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 18.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 19

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (1)$

Bước 19.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (1)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 19.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - 0$

Bước 19.4

Trừ $0$ khỏi $2 π$ .

$x = 2 π$

Bước 19.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 19.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 19.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 19.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 19.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 20

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 21

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 22

Chứng minh từng đáp án bằng cách thay chúng vào $\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x) = 1$ và giải.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$