Lượng giác Ví dụ

$\sqrt{2} \sin (2 x) = 2 \sin (x)$

Bước 1

Trừ $2 \sin (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sqrt{2} \sin (2 x) - 2 \sin (x) = 0$

Bước 2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\sqrt{2} (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Bước 2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

Bước 3

Đưa $2 \sin (x)$ ra ngoài $2 \sqrt{2} \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $2 \sin (x)$ ra ngoài $2 \sqrt{2} \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) (\sqrt{2} \cos (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Bước 3.2

Đưa $2 \sin (x)$ ra ngoài $- 2 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) (\sqrt{2} \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Bước 3.3

Đưa $2 \sin (x)$ ra ngoài $2 \sin (x) (\sqrt{2} \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ .

$2 \sin (x) (\sqrt{2} \cos (x) - 1) = 0$

Bước 4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\sqrt{2} \cos (x) - 1 = 0$

Bước 5

Đặt $\sin (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $\sin (x)$ bằng với $0$ .

$\sin (x) = 0$

Bước 5.2

Giải $\sin (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (0)$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 5.2.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - 0$

Bước 5.2.4

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$x = π$

Bước 5.2.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 5.2.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 5.2.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 5.2.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 5.2.6

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 6

Đặt $\sqrt{2} \cos (x) - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $\sqrt{2} \cos (x) - 1$ bằng với $0$ .

$\sqrt{2} \cos (x) - 1 = 0$

Bước 6.2

Giải $\sqrt{2} \cos (x) - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$\sqrt{2} \cos (x) = 1$

Bước 6.2.2

Chia mỗi số hạng trong $\sqrt{2} \cos (x) = 1$ cho $\sqrt{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $\sqrt{2} \cos (x) = 1$ cho $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Bước 6.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Bước 6.2.2.2.1.2

Chia $\cos (x)$ cho $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Bước 6.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 6.2.2.3.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.2.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 6.2.2.3.2.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Bước 6.2.2.3.2.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Bước 6.2.2.3.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 6.2.2.3.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 6.2.2.3.2.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 6.2.2.3.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 6.2.2.3.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 6.2.2.3.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 6.2.2.3.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Bước 6.2.2.3.2.6.5

Tính số mũ.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 6.2.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 6.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ là $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Bước 6.2.5

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Bước 6.2.6

Rút gọn $2 π - \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.6.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 6.2.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.6.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 6.2.6.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Bước 6.2.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.6.3.1

Nhân $4$ với $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Bước 6.2.6.3.2

Trừ $π$ khỏi $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Bước 6.2.7

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 6.2.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 6.2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 6.2.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 6.2.8

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $2 \sin (x) (\sqrt{2} \cos (x) - 1) = 0$ đúng.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8

Hợp nhất $2 π n$ và $π + 2 π n$ để $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$