Lượng giác Ví dụ

$4 (1 + \sin (x)) = \cos^{2} (x)$

Bước 1

Chia mỗi số hạng trong phương trình cho $\cos (x)$ .

$\frac{4 (1 + \sin (x))}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 2

Thay thế $\cos (x)$ bằng một biểu thức tương đương trong tử số.

$4 (1 + \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(4 \cdot 1 + 4 \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 4

Nhân $4$ với $1$ .

$(4 + 4 \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 5

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$(4 + 4 \sin (x)) \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (\frac{1}{\cos (x)}) + 4 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 7

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 8

Nhân $4 \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{\cos (x)}$ và $4$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4}{\cos (x)} \cdot \sin (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{4}{\cos (x)}$ và $\sin (x)$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 9

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tách các phân số.

$\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 9.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\frac{4}{1} \cdot \sec (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 9.3

Chia $4$ cho $1$ .

$4 \sec (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 9.4

Tách các phân số.

$4 \sec (x) + \frac{4}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 9.5

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$4 \sec (x) + \frac{4}{1} \cdot \tan (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 9.6

Chia $4$ cho $1$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 10

Triệt tiêu thừa số chung của $\cos^{2} (x)$ và $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x)$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Bước 10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nhân với $1$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

Bước 10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

Bước 10.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x)}{1}$

Bước 10.2.4

Chia $\cos (x)$ cho $1$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \cos (x)$

Bước 11

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$4 \frac{1}{\cos (x)} + 4 \tan (x) = \cos (x)$

Bước 11.1.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \tan (x) = \cos (x)$

Bước 11.1.3

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x)$

Bước 11.1.4

Kết hợp $4$ và $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x)$

Bước 12

Nhân cả hai vế của phương trình với $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cos (x)$

Bước 13

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (x) \frac{4}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

Bước 14

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (x) \frac{4}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

Bước 14.2

Viết lại biểu thức.

$4 + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

Bước 15

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

Bước 15.2

Viết lại biểu thức.

$4 + 4 \sin (x) = \cos (x) \cos (x)$

Bước 16

Nhân $\cos (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{1} (x) \cos (x)$

Bước 16.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Bước 16.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 + 4 \sin (x) = {\cos (x)}^{1 + 1}$

Bước 16.4

Cộng $1$ và $1$ .

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{2} (x)$

Bước 17

Trừ $\cos^{2} (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 + 4 \sin (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Bước 18

Thay thế $\cos^{2} (x)$ bằng $1 - \sin^{2} (x)$ .

$4 + 4 \sin (x) - (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Bước 19

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Thay $u$ bằng $\sin (x)$ .

$4 + 4 (u) - (1 - {(u)}^{2}) = 0$

Bước 19.2

Rút gọn $4 + 4 u - (1 - u^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 + 4 u - 1 \cdot 1 - - u^{2} = 0$

Bước 19.2.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$4 + 4 u - 1 - - u^{2} = 0$

Bước 19.2.1.3

Nhân $- - u^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$4 + 4 u - 1 + 1 u^{2} = 0$

Bước 19.2.1.3.2

Nhân $u^{2}$ với $1$ .

$4 + 4 u - 1 + u^{2} = 0$

Bước 19.2.2

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$4 u + 3 + u^{2} = 0$

Bước 19.3

Phân tích $4 u + 3 + u^{2}$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.3.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $3$ và tổng của chúng là $4$ .

$1, 3$

Bước 19.3.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(u + 1) (u + 3) = 0$

Bước 19.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$u + 1 = 0$

$u + 3 = 0$

Bước 19.5

Đặt $u + 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.5.1

Đặt $u + 1$ bằng với $0$ .

$u + 1 = 0$

Bước 19.5.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u = - 1$

Bước 19.6

Đặt $u + 3$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.6.1

Đặt $u + 3$ bằng với $0$ .

$u + 3 = 0$

Bước 19.6.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u = - 3$

Bước 19.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(u + 1) (u + 3) = 0$ đúng.

$u = - 1, - 3$

Bước 19.8

Thay $\sin (x)$ bằng $u$ .

$\sin (x) = - 1, - 3$

Bước 19.9

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = - 3$

Bước 19.10

Giải tìm $x$ trong $\sin (x) = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.10.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (- 1)$

Bước 19.10.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.10.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (- 1)$ là $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Bước 19.10.3

Hàm sin âm trong góc phần tư thứ ba và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ đáp án khỏi $2 π$ , để tìm góc tham chiếu. Tiếp theo, cộng góc tham chiếu này vào $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Bước 19.10.4

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.10.4.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Bước 19.10.4.2

Góc tìm được $\frac{3 π}{2}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 19.10.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.10.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 19.10.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 19.10.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 19.10.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 19.10.6

Cộng $2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.10.6.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{2}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Bước 19.10.6.2

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 19.10.6.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.10.6.3.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 19.10.6.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 19.10.6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.10.6.4.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Bước 19.10.6.4.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Bước 19.10.6.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 19.10.7

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 19.11

Giải tìm $x$ trong $\sin (x) = - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.11.1

Khoảng biến thiên của sin là $- 1 \leq y \leq 1$ . Vì $- 3$ không nằm trong khoảng biến thiên này, nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 19.12

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 19.13

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$