Lượng giác Ví dụ

$\cos (22.5) = (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}})$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}} = \cos (22.5)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}} = \cos (22.5)$

Bước 2

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}}) = 2 \cos (22.5)$

Bước 3

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Rút gọn $2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sqrt{A + \sqrt{B}}$ .

$2 \frac{\sqrt{A + \sqrt{B}}}{2} = 2 \cos (22.5)$

Bước 3.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{\sqrt{A + \sqrt{B}}}{2} = 2 \cos (22.5)$

Bước 3.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \cos (22.5)$

Bước 3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn $2 \cos (22.5)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (22.5)$ là $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Viết lại $22.5$ dưới dạng một góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết được chia cho $2$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \cos (\frac{45}{2})$

Bước 3.2.1.1.2

Áp dụng đẳng thức góc chia đôi của cosin $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})$

Bước 3.2.1.1.3

Thay đổi $+$ thành $\pm$ vì cosin dương trong góc phần tư thứ nhất.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}$

Bước 3.2.1.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (45)$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Bước 3.2.1.1.5

Rút gọn $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.5.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Bước 3.2.1.1.5.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Bước 3.2.1.1.5.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Bước 3.2.1.1.5.4

Nhân $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.5.4.1

Nhân $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Bước 3.2.1.1.5.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Bước 3.2.1.1.5.5

Viết lại $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Bước 3.2.1.1.5.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.5.6.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Bước 3.2.1.1.5.6.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Bước 3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Bước 3.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = \sqrt{2 + \sqrt{2}}$

Bước 4

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{A + \sqrt{B}}}^{2} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Bước 5

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{A + \sqrt{B}}$ ở dạng ${(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Bước 5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn ${({(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Bước 5.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Bước 5.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(A + \sqrt{B})}^{1} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Bước 5.2.1.2

Rút gọn.

$A + \sqrt{B} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Bước 5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Viết lại ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ ở dạng $2 + \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ ở dạng ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$A + \sqrt{B} = {({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Bước 5.3.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A + \sqrt{B} = {(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Bước 5.3.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$A + \sqrt{B} = {(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}$

Bước 5.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$A + \sqrt{B} = {(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}$

Bước 5.3.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$A + \sqrt{B} = {(2 + \sqrt{2})}^{1}$

Bước 5.3.1.5

Rút gọn.

$A + \sqrt{B} = 2 + \sqrt{2}$

Bước 6

Trừ $A$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sqrt{B} = 2 + \sqrt{2} - A$

Bước 7

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{B}}^{2} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Bước 8

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{B}$ ở dạng $B^{\frac{1}{2}}$ .

${(B^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn ${(B^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${(B^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$B^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Bước 8.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$B^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Bước 8.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$B^{1} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Bước 8.2.1.2

Rút gọn.

$B = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn ${(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Viết lại ${(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$ ở dạng $(2 + \sqrt{2} - A) (2 + \sqrt{2} - A)$ .

$B = (2 + \sqrt{2} - A) (2 + \sqrt{2} - A)$

Bước 8.3.1.2

Khai triển $(2 + \sqrt{2} - A) (2 + \sqrt{2} - A)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$B = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} + 2 (- A) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Bước 8.3.1.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.3.1.1

Nhân $2$ với $2$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} + 2 (- A) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Bước 8.3.1.3.1.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Bước 8.3.1.3.1.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{2}$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Bước 8.3.1.3.1.4

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Bước 8.3.1.3.1.5

Nhân $2$ với $2$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + \sqrt{4} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Bước 8.3.1.3.1.6

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Bước 8.3.1.3.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Bước 8.3.1.3.1.8

Nhân $2$ với $- 1$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} - A (- A)$

Bước 8.3.1.3.1.9

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 A \cdot A$

Bước 8.3.1.3.1.10

Nhân $A$ với $A$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.3.1.10.1

Di chuyển $A$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 (A \cdot A)$

Bước 8.3.1.3.1.10.2

Nhân $A$ với $A$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 A^{2}$

Bước 8.3.1.3.1.11

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} + 1 A^{2}$

Bước 8.3.1.3.1.12

Nhân $A^{2}$ với $1$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} + A^{2}$

Bước 8.3.1.3.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.3.2.1

Cộng $4$ và $2$ .

$B = 6 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} + A^{2}$

Bước 8.3.1.3.2.2

Cộng $2 \sqrt{2}$ và $2 \sqrt{2}$ .

$B = 6 - 2 A + 4 \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} + A^{2}$

Bước 8.3.1.3.2.3

Trừ $2 A$ khỏi $- 2 A$ .

$B = 6 - 4 A + 4 \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \sqrt{2} + A^{2}$

Bước 8.3.1.3.2.4

Sắp xếp lại các thừa số của $\sqrt{2} (- A)$ .

$B = 6 - 4 A + 4 \sqrt{2} - A \sqrt{2} - A \sqrt{2} + A^{2}$

Bước 8.3.1.3.2.5

Trừ $A \sqrt{2}$ khỏi $- A \sqrt{2}$ .

$B = 6 - 4 A + 4 \sqrt{2} - 2 A \sqrt{2} + A^{2}$