Lượng giác Ví dụ

$\cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) - 1 = 0$

Bước 1

Thay thế $\cos^{2} (2 x)$ bằng $1 - \sin^{2} (2 x)$ .

$(1 - \sin^{2} (2 x)) + \sin (2 x) - 1 = 0$

Bước 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) - 1 = 0$

Bước 2.1.2

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Di chuyển $- 1$ .

$\cos^{2} (2 x) - 1 + \sin (2 x) = 0$

Bước 2.1.2.2

Sắp xếp lại $\cos^{2} (2 x)$ và $- 1$ .

$- 1 + \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) = 0$

Bước 2.1.2.3

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$- 1 \cdot 1 + \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) = 0$

Bước 2.1.2.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $\cos^{2} (2 x)$ .

$- 1 \cdot 1 - 1 (- \cos^{2} (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

Bước 2.1.2.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (2 x))$ .

$- 1 (1 - \cos^{2} (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

Bước 2.1.2.6

Viết lại $- 1 (1 - \cos^{2} (2 x))$ ở dạng $- (1 - \cos^{2} (2 x))$ .

$- (1 - \cos^{2} (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

Bước 2.1.3

Áp dụng đẳng thức pytago.

$- \sin^{2} (2 x) + \sin (2 x) = 0$

Bước 2.2

Đưa $\sin (2 x)$ ra ngoài $- \sin^{2} (2 x) + \sin (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $\sin (2 x)$ ra ngoài $- \sin^{2} (2 x)$ .

$\sin (2 x) (- \sin (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

Bước 2.2.2

Nâng $\sin (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin (2 x) (- \sin (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

Bước 2.2.3

Đưa $\sin (2 x)$ ra ngoài $\sin^{1} (2 x)$ .

$\sin (2 x) (- \sin (2 x)) + \sin (2 x) \cdot 1 = 0$

Bước 2.2.4

Đưa $\sin (2 x)$ ra ngoài $\sin (2 x) (- \sin (2 x)) + \sin (2 x) \cdot 1$ .

$\sin (2 x) (- \sin (2 x) + 1) = 0$

Bước 2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

$- \sin (2 x) + 1 = 0$

Bước 2.4

Đặt $\sin (2 x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $\sin (2 x)$ bằng với $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

Bước 2.4.2

Giải $\sin (2 x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$2 x = \arcsin (0)$

Bước 2.4.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$2 x = 0$

Bước 2.4.2.3

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 2.4.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 2.4.2.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Bước 2.4.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.3.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$x = 0$

Bước 2.4.2.4

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$2 x = π - 0$

Bước 2.4.2.5

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.5.1.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$2 x = π + 0$

Bước 2.4.2.5.1.2

Cộng $π$ và $0$ .

$2 x = π$

Bước 2.4.2.5.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = π$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = π$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Bước 2.4.2.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Bước 2.4.2.5.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 2.4.2.6

Tìm chu kỳ của $\sin (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 2.4.2.6.2

Thay thế $b$ với $2$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Bước 2.4.2.6.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Bước 2.4.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 π}{2}$

Bước 2.4.2.6.4.2

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 2.4.2.7

Chu kỳ của hàm $\sin (2 x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.5

Đặt $- \sin (2 x) + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $- \sin (2 x) + 1$ bằng với $0$ .

$- \sin (2 x) + 1 = 0$

Bước 2.5.2

Giải $- \sin (2 x) + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \sin (2 x) = - 1$

Bước 2.5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- \sin (2 x) = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- \sin (2 x) = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \sin (2 x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 2.5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\sin (2 x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 2.5.2.2.2.2

Chia $\sin (2 x)$ cho $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 2.5.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$\sin (2 x) = 1$

Bước 2.5.2.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$2 x = \arcsin (1)$

Bước 2.5.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (1)$ là $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Bước 2.5.2.5

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{π}{2}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.5.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{π}{2}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 2.5.2.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 2.5.2.5.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 2.5.2.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.5.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 2.5.2.5.3.2

Nhân $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.5.3.2.1

Nhân $\frac{π}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Bước 2.5.2.5.3.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Bước 2.5.2.6

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$2 x = π - \frac{π}{2}$

Bước 2.5.2.7

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.7.1.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 2.5.2.7.1.2

Kết hợp $π$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 2.5.2.7.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 2.5.2.7.1.4

Trừ $π$ khỏi $π \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.7.1.4.1

Sắp xếp lại $π$ và $2$ .

$2 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Bước 2.5.2.7.1.4.2

Trừ $π$ khỏi $2 \cdot π$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Bước 2.5.2.7.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{π}{2}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.7.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{π}{2}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 2.5.2.7.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.7.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.7.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 2.5.2.7.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 2.5.2.7.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.7.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 2.5.2.7.2.3.2

Nhân $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.7.2.3.2.1

Nhân $\frac{π}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Bước 2.5.2.7.2.3.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Bước 2.5.2.8

Tìm chu kỳ của $\sin (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.8.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 2.5.2.8.2

Thay thế $b$ với $2$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Bước 2.5.2.8.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Bước 2.5.2.8.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.8.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 π}{2}$

Bước 2.5.2.8.4.2

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 2.5.2.9

Chu kỳ của hàm $\sin (2 x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $\sin (2 x) (- \sin (2 x) + 1) = 0$ đúng.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3

Hợp nhất $π n$ và $\frac{π}{2} + π n$ để $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$