Lượng giác Ví dụ

$\cot^{2} (x) (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

Bước 1

Thay thế $\cot^{2} (x)$ bằng $\csc^{2} (x) - 1$ dựa trên đẳng thức $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

Bước 2

Khai triển $(\csc^{2} (x) - 1) (\sec^{2} (x) - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x) - 1) - 1 (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

Bước 2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

Bước 2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) \cdot - 1 - 1 \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

Bước 3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - 1 \cdot \csc^{2} (x) - 1 \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

Bước 3.2

Viết lại $- 1 \csc^{2} (x)$ ở dạng $- \csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) - 1 \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

Bước 3.3

Viết lại $- 1 \sec^{2} (x)$ ở dạng $- \sec^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

Bước 3.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

Bước 4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn $\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Đưa $\csc^{2} (x)$ ra ngoài $\csc^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x)) - \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

Bước 4.1.1.2

Đưa $\csc^{2} (x)$ ra ngoài $- \csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x)) + \csc^{2} (x) \cdot - 1 - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

Bước 4.1.1.3

Đưa $\csc^{2} (x)$ ra ngoài $\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x)) + \csc^{2} (x) \cdot - 1$ .

$\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x) - 1) - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

Bước 4.1.2

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

Bước 4.1.3

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sec^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x)) + 1 = 1$

Bước 4.1.3.2

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

Bước 4.1.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

Bước 4.1.4

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - \tan^{2} (x) = 1$

Bước 4.1.5

Viết lại $\csc^{2} (x) \tan^{2} (x)$ ở dạng ${(\csc (x) \tan (x))}^{2}$ .

${(\csc (x) \tan (x))}^{2} - \tan^{2} (x) = 1$

Bước 4.1.6

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \csc (x) \tan (x)$ và $b = \tan (x)$ .

$(\csc (x) \tan (x) + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

Bước 4.1.7

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.7.1.1

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.7.1.1.1

Sắp xếp lại $\csc (x)$ và $\tan (x)$ .

$(\tan (x) \csc (x) + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

Bước 4.1.7.1.1.2

Viết lại $\csc (x) \tan (x)$ theo sin và cosin.

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

Bước 4.1.7.1.1.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

Bước 4.1.7.1.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

Bước 4.1.7.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.7.2.1

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.7.2.1.1

Sắp xếp lại $\csc (x)$ và $\tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\tan (x) \csc (x) - \tan (x)) = 1$

Bước 4.1.7.2.1.2

Viết lại $\csc (x) \tan (x)$ theo sin và cosin.

$(\sec (x) + \tan (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \tan (x)) = 1$

Bước 4.1.7.2.1.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

$(\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)) = 1$

Bước 4.1.7.2.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x)) = 1$

Bước 4.1.8

Khai triển $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sec (x) (\sec (x) - \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x)) = 1$

Bước 4.1.8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x)) = 1$

Bước 4.1.8.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Bước 4.1.9

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.9.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.9.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $\sec (x) (- \tan (x))$ và $\tan (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Bước 4.1.9.1.2

Cộng $- \sec (x) \tan (x)$ và $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) + 0 + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Bước 4.1.9.1.3

Cộng $\sec (x) \sec (x)$ và $0$ .

$\sec (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Bước 4.1.9.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.9.2.1

Nhân $\sec (x) \sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.9.2.1.1

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Bước 4.1.9.2.1.2

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Bước 4.1.9.2.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${\sec (x)}^{1 + 1} + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Bước 4.1.9.2.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\sec^{2} (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Bước 4.1.9.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\sec^{2} (x) - \tan (x) \tan (x) = 1$

Bước 4.1.9.2.3

Nhân $- \tan (x) \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.9.2.3.1

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) = 1$

Bước 4.1.9.2.3.2

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) = 1$

Bước 4.1.9.2.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} = 1$

Bước 4.1.9.2.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) = 1$

Bước 4.1.10

Áp dụng đẳng thức pytago.

$1 = 1$

Bước 5

Vì $1 = 1$ , phương trình luôn đúng cho bất kỳ giá trị nào của $x$ .

Tất cả các số thực

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Tất cả các số thực

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$