Lượng giác Ví dụ

$\sec^{2} (x) + 4 \tan (x) = 2$

Bước 1

Thay thế $\sec^{2} (x)$ bằng $1 + \tan^{2} (x)$ dựa trên đẳng thức $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) + 4 \tan (x) = 2$

Bước 2

Sắp xếp lại đa thức.

$\tan^{2} (x) + 4 \tan (x) + 1 = 2$

Bước 3

Thay $u$ bằng $\tan (x)$ .

${(u)}^{2} + 4 (u) + 1 = 2$

Bước 4

Di chuyển tất cả các số hạng sang vế trái của phương trình và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u^{2} + 4 u + 1 - 2 = 0$

Bước 4.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$u^{2} + 4 u - 1 = 0$

Bước 5

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 6

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 4$ , và $c = - 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $u$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.1.3

Cộng $16$ và $4$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.1.4

Viết lại $20$ ở dạng $2^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$u = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.2

Nhân $2$ với $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Bước 7.3

Rút gọn $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 2 \pm \sqrt{5}$

Bước 8

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$u = - 2 + \sqrt{5}, - 2 - \sqrt{5}$

Bước 9

Thay $\tan (x)$ bằng $u$ .

$\tan (x) = - 2 + \sqrt{5}, - 2 - \sqrt{5}$

Bước 10

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\tan (x) = - 2 + \sqrt{5}$

$\tan (x) = - 2 - \sqrt{5}$

Bước 11

Giải tìm $x$ trong $\tan (x) = - 2 + \sqrt{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Quy đổi vế phải của phương trình sang dạng thập phân tương ứng của nó.

$\tan (x) = 0.23606797$

Bước 11.2

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (0.23606797)$

Bước 11.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Tính $\arctan (0.23606797)$ .

$x = 0.2318238$

Bước 11.4

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = (3.14159265) + 0.2318238$

Bước 11.5

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = 3.14159265 + 0.2318238$

Bước 11.5.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = (3.14159265) + 0.2318238$

Bước 11.5.3

Cộng $3.14159265$ và $0.2318238$ .

$x = 3.37341645$

Bước 11.6

Tìm chu kỳ của $\tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 11.6.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 11.6.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 11.6.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 11.7

Chu kỳ của hàm $\tan (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 0.2318238 + π n, 3.37341645 + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 12

Giải tìm $x$ trong $\tan (x) = - 2 - \sqrt{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Quy đổi vế phải của phương trình sang dạng thập phân tương ứng của nó.

$\tan (x) = - 4.23606797$

Bước 12.2

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (- 4.23606797)$

Bước 12.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Tính $\arctan (- 4.23606797)$ .

$x = - 1.33897252$

Bước 12.4

Hàm tang âm trong góc phần tư thứ hai và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = - 1.33897252 - (3.14159265)$

Bước 12.5

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Cộng $2 π$ vào $- 1.33897252 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.33897252 - (3.14159265) + 2 π$

Bước 12.5.2

Góc tìm được $1.80262013$ dương và có cùng cạnh cuối với $- 1.33897252 - (3.14159265)$ .

$x = 1.80262013$

Bước 12.6

Tìm chu kỳ của $\tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 12.6.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 12.6.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 12.6.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 12.7

Cộng $π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.7.1

Cộng $π$ vào $- 1.33897252$ để tìm góc dương.

$- 1.33897252 + π$

Bước 12.7.2

Thay thế bằng giá trị xấp xỉ thập phân.

$3.14159265 - 1.33897252$

Bước 12.7.3

Trừ $1.33897252$ khỏi $3.14159265$ .

$1.80262013$

Bước 12.7.4

Liệt kê các góc mới.

$x = 1.80262013$

Bước 12.8

Chu kỳ của hàm $\tan (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 1.80262013 + π n, 1.80262013 + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 13

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = 0.2318238 + π n, 3.37341645 + π n, 1.80262013 + π n, 1.80262013 + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 14

Hợp nhất các đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Hợp nhất $0.2318238 + π n$ và $3.37341645 + π n$ để $0.2318238 + π n$ .

$x = 0.2318238 + π n, 1.80262013 + π n, 1.80262013 + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 14.2

Hợp nhất $0.2318238 + π n$ và $1.80262013 + π n$ để $0.2318238 + \frac{π n}{2}$ .

$x = 0.2318238 + \frac{π n}{2}, 1.80262013 + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 14.3

Hợp nhất $0.2318238 + \frac{π n}{2}$ và $1.80262013 + π n$ để $0.2318238 + \frac{π n}{2}$ .

$x = 0.2318238 + \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$