Lượng giác Ví dụ

$\sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = \frac{1}{4}$

Bước 1

Trừ $\frac{1}{4}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Bước 2

Thay thế $\sin^{2} (x)$ bằng $1 - \cos^{2} (x)$ dựa trên đẳng thức $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Bước 3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Bước 3.2

Nhân $\cos^{2} (x)$ với $1$ .

$\cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Bước 3.3

Nhân $\cos^{2} (x)$ với $\cos^{2} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Di chuyển $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - (\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)) - \frac{1}{4} = 0$

Bước 3.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos^{2} (x) - {\cos (x)}^{2 + 2} - \frac{1}{4} = 0$

Bước 3.3.3

Cộng $2$ và $2$ .

$\cos^{2} (x) - \cos^{4} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Bước 4

Sắp xếp lại đa thức.

$- \cos^{4} (x) + \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Bước 5

Thay $u = \cos^{2} (x)$ vào phương trình. Điều này sẽ làm cho công thức bậc hai dễ sử dụng.

$- u^{2} + u - \frac{1}{4} = 0$

$u = \cos^{2} (x)$

Bước 6

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- u^{2} + u - \frac{1}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + u - \frac{1}{4} = 0$

Bước 6.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $u$ .

$- (u^{2}) - 1 (- u) - \frac{1}{4} = 0$

Bước 6.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \frac{1}{4}$ .

$- (u^{2}) - 1 (- u) - (\frac{1}{4}) = 0$

Bước 6.1.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (u^{2}) - 1 (- u)$ .

$- (u^{2} - u) - (\frac{1}{4}) = 0$

Bước 6.1.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (u^{2} - u) - (\frac{1}{4})$ .

$- (u^{2} - u + \frac{1}{4}) = 0$

Bước 6.2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$- (u^{2} - u + \frac{1^{2}}{4}) = 0$

Bước 6.2.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$- (u^{2} - u + \frac{1^{2}}{2^{2}}) = 0$

Bước 6.2.3

Viết lại $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ ở dạng ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$- (u^{2} - u + {(\frac{1}{2})}^{2}) = 0$

Bước 6.2.4

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$u = 2 \cdot u \cdot \frac{1}{2}$

Bước 6.2.5

Viết lại đa thức này.

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot \frac{1}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}) = 0$

Bước 6.2.6

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = u$ và $b = \frac{1}{2}$ .

$- {(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $- {(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $- {(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$ cho $- 1$ .

$\frac{- {(u - \frac{1}{2})}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{{(u - \frac{1}{2})}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Bước 7.2.2

Chia ${(u - \frac{1}{2})}^{2}$ cho $1$ .

${(u - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Chia $0$ cho $- 1$ .

${(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$

Bước 8

Đặt $u - \frac{1}{2}$ bằng $0$ .

$u - \frac{1}{2} = 0$

Bước 9

Cộng $\frac{1}{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = \frac{1}{2}$

Bước 10

Thay giá trị thực tế của $u = \cos^{2} (x)$ trở lại vào phương trình đã giải.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Bước 11

Giải phương trình để tìm $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Bước 11.2

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Viết lại $\sqrt{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Bước 11.2.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Bước 11.2.3

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 11.2.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 11.2.4.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Bước 11.2.4.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Bước 11.2.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 11.2.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 11.2.4.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 11.2.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 11.2.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 11.2.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 11.2.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Bước 11.2.4.6.5

Tính số mũ.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 11.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 11.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 11.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 12

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 13

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 13.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ là $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Bước 13.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Bước 13.4

Rút gọn $2 π - \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 13.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 13.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Bước 13.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.3.1

Nhân $4$ với $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Bước 13.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Bước 13.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 13.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 13.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 13.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 13.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 14

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 14.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ là $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 14.3

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Bước 14.4

Rút gọn $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Bước 14.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Bước 14.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Bước 14.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.3.1

Nhân $4$ với $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Bước 14.4.3.2

Trừ $3 π$ khỏi $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Bước 14.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 14.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 14.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 14.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 14.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 15

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 16

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$