Lượng giác Ví dụ

$2 \cot^{2} (x) + 3 \csc (x) = 0$

Bước 1

Thay thế $2 \cot^{2} (x)$ bằng $2 (\csc^{2} (x) - 1)$ dựa trên đẳng thức $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) - 1) + 3 \csc (x) = 0$

Bước 2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \csc^{2} (x) + 2 \cdot - 1 + 3 \csc (x) = 0$

Bước 2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 \csc^{2} (x) - 2 + 3 \csc (x) = 0$

Bước 3

Sắp xếp lại đa thức.

$2 \csc^{2} (x) + 3 \csc (x) - 2 = 0$

Bước 4

Thay $u$ bằng $\csc (x)$ .

$2 {(u)}^{2} + 3 (u) - 2 = 0$

Bước 5

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ và có tổng là $b = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 u$ .

$2 u^{2} + 3 u - 2 = 0$

Bước 5.1.2

Viết lại $3$ ở dạng $- 1$ cộng $4$

$2 u^{2} + (- 1 + 4) u - 2 = 0$

Bước 5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2 = 0$

Bước 5.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2 = 0$

Bước 5.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1) = 0$

Bước 5.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 2) = 0$

Bước 6

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Bước 7

Đặt $2 u - 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đặt $2 u - 1$ bằng với $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Bước 7.2

Giải $2 u - 1 = 0$ để tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 u = 1$

Bước 7.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 u = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 u = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 7.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 7.2.2.2.1.2

Chia $u$ cho $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Bước 8

Đặt $u + 2$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đặt $u + 2$ bằng với $0$ .

$u + 2 = 0$

Bước 8.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u = - 2$

Bước 9

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(2 u - 1) (u + 2) = 0$ đúng.

$u = \frac{1}{2}, - 2$

Bước 10

Thay $\csc (x)$ bằng $u$ .

$\csc (x) = \frac{1}{2}, - 2$

Bước 11

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\csc (x) = \frac{1}{2}$

$\csc (x) = - 2$

Bước 12

Giải tìm $x$ trong $\csc (x) = \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Khoảng biến thiên của cosecant là $y \leq - 1$ và $y \geq 1$ . Vì $\frac{1}{2}$ không nằm trong khoảng biến thiên này, nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 13

Giải tìm $x$ trong $\csc (x) = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy cosecant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ bên trong cosecant.

$x = arccsc (- 2)$

Bước 13.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Giá trị chính xác của $arccsc (- 2)$ là $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Bước 13.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Bước 13.4

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Bước 13.4.2

Góc tìm được $\frac{7 π}{6}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Bước 13.5

Tìm chu kỳ của $\csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 13.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 13.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 13.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 13.6

Cộng $2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.6.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{6}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Bước 13.6.2

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 13.6.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.6.3.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 13.6.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Bước 13.6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.6.4.1

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Bước 13.6.4.2

Trừ $π$ khỏi $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Bước 13.6.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{11 π}{6}$

Bước 13.7

Chu kỳ của hàm $\csc (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 14

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$