Lượng giác Ví dụ

$2 \sin (x) + \cot (x) = \csc (x)$

Bước 1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $\cot (x)$ theo sin và cosin.

$2 \sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \csc (x)$

Bước 2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$2 \sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 3

Nhân cả hai vế của phương trình với $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sin (x) (2 \sin (x)) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 6

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 6.2

Viết lại biểu thức.

$2 \sin (x) \sin (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 7

Nhân $2 \sin (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 7.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 7.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 7.4

Cộng $1$ và $1$ .

$2 \sin^{2} (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 8

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \sin^{2} (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 8.2

Viết lại biểu thức.

$2 \sin^{2} (x) + \cos (x) = 1$

Bước 9

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 \sin^{2} (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Bước 10

Thay thế $2 \sin^{2} (x)$ bằng $2 (1 - \cos^{2} (x))$ dựa trên đẳng thức $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x)) + \cos (x) - 1 = 0$

Bước 11

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) - 1 = 0$

Bước 11.2

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) - 1 = 0$

Bước 11.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Bước 12

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + \cos (x) + 1 = 0$

Bước 13

Thay $u$ bằng $\cos (x)$ .

$- 2 {(u)}^{2} + u + 1 = 0$

Bước 14

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 u^{2} + u + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) + u + 1 = 0$

Bước 14.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $u$ .

$- (2 u^{2}) - 1 (- u) + 1 = 0$

Bước 14.1.3

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$- (2 u^{2}) - 1 (- u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Bước 14.1.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 u^{2}) - 1 (- u)$ .

$- (2 u^{2} - u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Bước 14.1.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 u^{2} - u) - 1 (- 1)$ .

$- (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Bước 14.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ và có tổng là $b = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- u$ .

$- (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Bước 14.2.1.1.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $1$ cộng $- 2$

$- (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Bước 14.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Bước 14.2.1.1.4

Nhân $u$ với $1$ .

$- (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Bước 14.2.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$- (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Bước 14.2.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$- (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Bước 14.2.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 u + 1$ .

$- ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Bước 14.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- (2 u + 1) (u - 1) = 0$

Bước 15

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Bước 16

Đặt $2 u + 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Đặt $2 u + 1$ bằng với $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Bước 16.2

Giải $2 u + 1 = 0$ để tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 u = - 1$

Bước 16.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 u = - 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 u = - 1$ cho $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 16.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 16.2.2.2.1.2

Chia $u$ cho $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Bước 16.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$u = - \frac{1}{2}$

Bước 17

Đặt $u - 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Đặt $u - 1$ bằng với $0$ .

$u - 1 = 0$

Bước 17.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 1$

Bước 18

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- (2 u + 1) (u - 1) = 0$ đúng.

$u = - \frac{1}{2}, 1$

Bước 19

Thay $\cos (x)$ bằng $u$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}, 1$

Bước 20

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

$\cos (x) = 1$

Bước 21

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = - \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Bước 21.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (- \frac{1}{2})$ là $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Bước 21.3

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Bước 21.4

Rút gọn $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Bước 21.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Bước 21.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Bước 21.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.4.3.1

Nhân $3$ với $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Bước 21.4.3.2

Trừ $2 π$ khỏi $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Bước 21.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 21.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 21.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 21.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 21.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 22

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (1)$

Bước 22.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (1)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 22.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - 0$

Bước 22.4

Trừ $0$ khỏi $2 π$ .

$x = 2 π$

Bước 22.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 22.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 22.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 22.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 22.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 23

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 24

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , cho mọi số nguyên $n$