Lượng giác Ví dụ

$\cos (x) - \sqrt{3 - 3 \cos^{2} (x)} = 0$

Bước 1

Trừ $\cos (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \sqrt{3 - 3 \cos^{2} (x)} = - \cos (x)$

Bước 2

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${(- \sqrt{3 - 3 \cos^{2} (x)})}^{2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Bước 3

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3 - 3 \cos^{2} (x)}$ ở dạng ${(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn ${(- {(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- {(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Bước 3.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$1 {({(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Bước 3.2.1.3

Nhân ${({(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ với $1$ .

${({(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Bước 3.2.1.4

Nhân các số mũ trong ${({(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Bước 3.2.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Bước 3.2.1.4.2.2

Viết lại biểu thức.

${(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{1} = {(- \cos (x))}^{2}$

Bước 3.2.1.5

Rút gọn.

$3 - 3 \cos^{2} (x) = {(- \cos (x))}^{2}$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn ${(- \cos (x))}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \cos (x)$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) = {(- 1)}^{2} \cos^{2} (x)$

Bước 3.3.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) = 1 \cos^{2} (x)$

Bước 3.3.1.3

Nhân $\cos^{2} (x)$ với $1$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) = \cos^{2} (x)$

Bước 4

Giải tìm $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $\cos (x)$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Trừ $\cos^{2} (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 - 3 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Bước 4.1.2

Trừ $\cos^{2} (x)$ khỏi $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$3 - 4 \cos^{2} (x) = 0$

Bước 4.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 4 \cos^{2} (x) = - 3$

Bước 4.3

Chia mỗi số hạng trong $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ cho $- 4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ cho $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Bước 4.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Bước 4.3.2.1.2

Chia $\cos^{2} (x)$ cho $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

Bước 4.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Bước 4.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Bước 4.5

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Viết lại $\sqrt{\frac{3}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Bước 4.5.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Bước 4.5.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 4.6

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 4.6.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 4.6.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 5

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 6

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 6.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ là $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Bước 6.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Bước 6.4

Rút gọn $2 π - \frac{π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 6.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 6.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Bước 6.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.1

Nhân $6$ với $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Bước 6.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Bước 6.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 6.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 6.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 6.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 6.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 7

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 7.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ là $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Bước 7.3

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Bước 7.4

Rút gọn $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Bước 7.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Bước 7.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Bước 7.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.3.1

Nhân $6$ với $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Bước 7.4.3.2

Trừ $5 π$ khỏi $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Bước 7.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 7.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 7.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 7.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 7.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 9

Hợp nhất các đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Hợp nhất $\frac{π}{6} + 2 π n$ và $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ để $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 9.2

Hợp nhất $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ và $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ để $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 10

Loại bỏ đáp án không làm cho $\cos (x) - \sqrt{3 - 3 \cos^{2} (x)} = 0$ đúng.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$