Lượng giác Ví dụ

$\csc (2 x) + \sqrt{2} = 0$

Bước 1

Trừ $\sqrt{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\csc (2 x) = - \sqrt{2}$

Bước 2

Lấy cosecant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ bên trong cosecant.

$2 x = arccsc (- \sqrt{2})$

Bước 3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Giá trị chính xác của $arccsc (- \sqrt{2})$ là $- \frac{π}{4}$ .

$2 x = - \frac{π}{4}$

Bước 4

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - \frac{π}{4}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - \frac{π}{4}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Bước 4.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Bước 4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 4.3.2

Nhân $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 4}$

Bước 4.3.2.2

Nhân $2$ với $4$ .

$x = - \frac{π}{8}$

Bước 5

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$2 x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Bước 6

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Bước 6.2

Góc tìm được $\frac{5 π}{4}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$2 x = \frac{5 π}{4}$

Bước 6.3

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{5 π}{4}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{5 π}{4}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Bước 6.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Bước 6.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 6.3.3.2

Nhân $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.2.1

Nhân $\frac{5 π}{4}$ với $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

Bước 6.3.3.2.2

Nhân $4$ với $2$ .

$x = \frac{5 π}{8}$

Bước 7

Tìm chu kỳ của $\csc (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 7.2

Thay thế $b$ với $2$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Bước 7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Bước 7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 π}{2}$

Bước 7.4.2

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 8

Cộng $π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Cộng $π$ vào $- \frac{π}{8}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{8} + π$

Bước 8.2

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{8}{8}$ .

$π \cdot \frac{8}{8} - \frac{π}{8}$

Bước 8.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Kết hợp $π$ và $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π \cdot 8}{8} - \frac{π}{8}$

Bước 8.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{π \cdot 8 - π}{8}$

Bước 8.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{8 \cdot π - π}{8}$

Bước 8.4.2

Trừ $π$ khỏi $8 π$ .

$\frac{7 π}{8}$

Bước 8.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{7 π}{8}$

Bước 9

Chu kỳ của hàm $\csc (2 x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{5 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$