Lượng giác Ví dụ

$4 \sin^{2} (x) = 9 \cos^{2} (x) + 6 \cos (x) + 1$

Bước 1

Chuyển tất cả các biểu thức sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $9 \cos^{2} (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 \sin^{2} (x) - 9 \cos^{2} (x) = 6 \cos (x) + 1$

Bước 1.2

Trừ $6 \cos (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 \sin^{2} (x) - 9 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) = 1$

Bước 1.3

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 \sin^{2} (x) - 9 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 1 = 0$

Bước 2

Thay thế $4 \sin^{2} (x)$ bằng $4 (1 - \cos^{2} (x))$ dựa trên đẳng thức $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \cos^{2} (x)) - 9 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 1 = 0$

Bước 3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \cdot 1 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 9 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 1 = 0$

Bước 3.2

Nhân $4$ với $1$ .

$4 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 9 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 1 = 0$

Bước 3.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$4 - 4 \cos^{2} (x) - 9 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 1 = 0$

Bước 4

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$- 4 \cos^{2} (x) - 9 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) + 3 = 0$

Bước 4.2

Trừ $9 \cos^{2} (x)$ khỏi $- 4 \cos^{2} (x)$ .

$- 13 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) + 3 = 0$

Bước 5

Thay $u$ bằng $\cos (x)$ .

$- 13 {(u)}^{2} - 6 u + 3 = 0$

Bước 6

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 7

Thay các giá trị $a = - 13$ , $b = - 6$ , và $c = 3$ vào công thức bậc hai và giải tìm $u$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 13 \cdot 3)}}{2 \cdot - 13}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 13 \cdot 3}}{2 \cdot - 13}$

Bước 8.1.2

Nhân $- 4 \cdot - 13 \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1

Nhân $- 4$ với $- 13$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 52 \cdot 3}}{2 \cdot - 13}$

Bước 8.1.2.2

Nhân $52$ với $3$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 156}}{2 \cdot - 13}$

Bước 8.1.3

Cộng $36$ và $156$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{192}}{2 \cdot - 13}$

Bước 8.1.4

Viết lại $192$ ở dạng $8^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.4.1

Đưa $64$ ra ngoài $192$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot - 13}$

Bước 8.1.4.2

Viết lại $64$ ở dạng $8^{2}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot - 13}$

Bước 8.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$u = \frac{6 \pm 8 \sqrt{3}}{2 \cdot - 13}$

Bước 8.2

Nhân $2$ với $- 13$ .

$u = \frac{6 \pm 8 \sqrt{3}}{- 26}$

Bước 8.3

Rút gọn $\frac{6 \pm 8 \sqrt{3}}{- 26}$ .

$u = \frac{3 \pm 4 \sqrt{3}}{- 13}$

Bước 8.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$u = - \frac{3 \pm 4 \sqrt{3}}{13}$

Bước 9

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$u = - \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{13}, - \frac{3 - 4 \sqrt{3}}{13}$

Bước 10

Thay $\cos (x)$ bằng $u$ .

$\cos (x) = - \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{13}, - \frac{3 - 4 \sqrt{3}}{13}$

Bước 11

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\cos (x) = - \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{13}$

$\cos (x) = - \frac{3 - 4 \sqrt{3}}{13}$

Bước 12

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = - \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{13}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (- \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{13})$

Bước 12.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Tính $\arccos (- \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{13})$ .

$x = 2.43983383$

Bước 12.3

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 (3.14159265) - 2.43983383$

Bước 12.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = 2 (3.14159265) - 2.43983383$

Bước 12.4.2

Rút gọn $2 (3.14159265) - 2.43983383$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.2.1

Nhân $2$ với $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.43983383$

Bước 12.4.2.2

Trừ $2.43983383$ khỏi $6.2831853$ .

$x = 3.84335147$

Bước 12.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 12.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 12.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 12.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 12.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 2.43983383 + 2 π n, 3.84335147 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 13

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = - \frac{3 - 4 \sqrt{3}}{13}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (- \frac{3 - 4 \sqrt{3}}{13})$

Bước 13.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Tính $\arccos (- \frac{3 - 4 \sqrt{3}}{13})$ .

$x = 1.26382862$

Bước 13.3

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 (3.14159265) - 1.26382862$

Bước 13.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = 2 (3.14159265) - 1.26382862$

Bước 13.4.2

Rút gọn $2 (3.14159265) - 1.26382862$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.2.1

Nhân $2$ với $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.26382862$

Bước 13.4.2.2

Trừ $1.26382862$ khỏi $6.2831853$ .

$x = 5.01935668$

Bước 13.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 13.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 13.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 13.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 13.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 1.26382862 + 2 π n, 5.01935668 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 14

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = 2.43983383 + 2 π n, 3.84335147 + 2 π n, 1.26382862 + 2 π n, 5.01935668 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$