Lượng giác Ví dụ

$\ln (x) + \ln ({(x)}^{2}) = 6$

Bước 1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x \cdot x^{2}) = 6$

Bước 1.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\ln (x \cdot x^{2}) = 6$

Bước 1.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\ln (x^{1 + 2}) = 6$

Bước 1.2.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\ln (x^{3}) = 6$

Bước 2

Để giải tìm $x$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (x^{3})} = e^{6}$

Bước 3

Viết lại $\ln (x^{3}) = 6$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{6} = x^{3}$

Bước 4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $x^{3} = e^{6}$ .

$x^{3} = e^{6}$

Bước 4.2

Trừ $e^{6}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{3} - e^{6} = 0$

Bước 4.3

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Viết lại $e^{6}$ ở dạng ${(e^{2})}^{3}$ .

$x^{3} - {(e^{2})}^{3} = 0$

Bước 4.3.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = x$ và $b = e^{2}$ .

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + {(e^{2})}^{2}) = 0$

Bước 4.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + e^{2 \cdot 2}) = 0$

Bước 4.3.3.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + e^{4}) = 0$

Bước 4.3.3.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$(x - e^{2}) (e^{4} + x^{2} + e^{2} x) = 0$

Bước 4.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - e^{2} = 0$

$e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$

Bước 4.5

Đặt $x - e^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Đặt $x - e^{2}$ bằng với $0$ .

$x - e^{2} = 0$

Bước 4.5.2

Cộng $e^{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = e^{2}$

Bước 4.6

Đặt $e^{4} + x^{2} + e^{2} x$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Đặt $e^{4} + x^{2} + e^{2} x$ bằng với $0$ .

$e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$

Bước 4.6.2

Giải $e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 4.6.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = e^{2}$ , và $c = e^{4}$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(e^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.6.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.3.1.1

Viết lại $4 \cdot 1 \cdot e^{4}$ ở dạng ${(2 \cdot 1 \cdot e^{2})}^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(e^{2})}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot e^{2})}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.6.2.3.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = e^{2}$ và $b = 2 \cdot 1 \cdot e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{(e^{2} + 2 \cdot 1 \cdot e^{2}) (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.6.2.3.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.3.1.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{(e^{2} + 2 \cdot e^{2}) (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.6.2.3.1.3.2

Cộng $e^{2}$ và $2 e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.6.2.3.1.3.3

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.3.1.3.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - (2 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.6.2.3.1.3.3.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - 2 e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.6.2.3.1.4

Trừ $2 e^{2}$ khỏi $e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.6.2.3.1.5

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.3.1.5.1

Đưa dấu âm ra ngoài.

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{2} e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.6.2.3.1.5.2

Nhân $e^{2}$ với $e^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.3.1.5.2.1

Di chuyển $e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 (e^{2} e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.6.2.3.1.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{2 + 2})}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.6.2.3.1.5.2.3

Cộng $2$ và $2$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.6.2.3.1.5.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- 3 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.6.2.3.1.6

Viết lại $- 3 e^{4}$ ở dạng ${(i e^{2})}^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.3.1.6.1

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot 3 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.6.2.3.1.6.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $i^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} \cdot (3 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.6.2.3.1.6.3

Viết lại $e^{4}$ ở dạng ${(e^{2})}^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} \cdot (3 {(e^{2})}^{2})}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.6.2.3.1.6.4

Di chuyển $3$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} {(e^{2})}^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.6.2.3.1.6.5

Viết lại $i^{2} {(e^{2})}^{2}$ ở dạng ${(i e^{2})}^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(i e^{2})}^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.6.2.3.1.7

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- e^{2} \pm i e^{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.6.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm i e^{2} \sqrt{3}}{2}$

Bước 4.6.2.4

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - \frac{e^{2} - i e^{2} \sqrt{3}}{2}, - \frac{e^{2} + i e^{2} \sqrt{3}}{2}$

Bước 4.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x - e^{2}) (e^{4} + x^{2} + e^{2} x) = 0$ đúng.

$x = e^{2}, - \frac{e^{2} - i e^{2} \sqrt{3}}{2}, - \frac{e^{2} + i e^{2} \sqrt{3}}{2}$