Lượng giác Ví dụ

$4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$

Bước 1

Tìm dạng chính tắc của hyperbol.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hoàn thành bình phương cho $4 y^{2} - 8 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Bước 1.1.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.1.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

Bước 1.1.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Bước 1.1.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

Bước 1.1.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Bước 1.1.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 4}{4}$

Bước 1.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

Bước 1.1.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

Bước 1.1.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

Bước 1.1.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 1}{1}$

Bước 1.1.3.2.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$d = - 1$

Bước 1.1.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Bước 1.1.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Bước 1.1.4.2.1.2

Nhân $4$ với $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Bước 1.1.4.2.1.3

Chia $64$ cho $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Bước 1.1.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $4$ .

$e = 0 - 4$

Bước 1.1.4.2.2

Trừ $4$ khỏi $0$ .

$e = - 4$

Bước 1.1.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 4$

Bước 1.2

Thay $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ cho $4 y^{2} - 8 y$ trong phương trình $4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 4 - 25 x^{2} + 100 x = 196$

Bước 1.3

Di chuyển $- 4$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $4$ vào cả hai vế.

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 x^{2} + 100 x = 196 + 4$

Bước 1.4

Hoàn thành bình phương cho $- 25 x^{2} + 100 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 25$

$b = 100$

$c = 0$

Bước 1.4.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.4.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{100}{2 \cdot - 25}$

Bước 1.4.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $100$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $100$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 25}$

Bước 1.4.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 (- 25)}$

Bước 1.4.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 25}$

Bước 1.4.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{50}{- 25}$

Bước 1.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $50$ và $- 25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.2.2.1

Đưa $25$ ra ngoài $50$ .

$d = \frac{25 (2)}{- 25}$

Bước 1.4.3.2.2.2

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Bước 1.4.3.2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$d = - 2$

Bước 1.4.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{100^{2}}{4 \cdot - 25}$

Bước 1.4.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.2.1.1

Nâng $100$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot - 25}$

Bước 1.4.4.2.1.2

Nhân $4$ với $- 25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{- 100}$

Bước 1.4.4.2.1.3

Chia $10000$ cho $- 100$ .

$e = 0 - - 100$

Bước 1.4.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $- 100$ .

$e = 0 + 100$

Bước 1.4.4.2.2

Cộng $0$ và $100$ .

$e = 100$

Bước 1.4.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$ .

$- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$

Bước 1.5

Thay $- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$ cho $- 25 x^{2} + 100 x$ trong phương trình $4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} + 100 = 196 + 4$

Bước 1.6

Di chuyển $100$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $100$ vào cả hai vế.

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 196 + 4 - 100$

Bước 1.7

Rút gọn $196 + 4 - 100$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Cộng $196$ và $4$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 200 - 100$

Bước 1.7.2

Trừ $100$ khỏi $200$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 100$

Bước 1.8

Chia mỗi số hạng cho $100$ để làm cho vế phải bằng một.

$\frac{4 {(y - 1)}^{2}}{100} - \frac{25 {(x - 2)}^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Bước 1.9

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{25} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = 5$

$b = 2$

$k = 1$

$h = 2$

Bước 4

Các tiệm cận có dạng $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ vì hyperbol quay mặt lõm lên trên và xuống dưới.

$y = \pm \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

Bước 5

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

Bước 5.2

Rút gọn $\frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$y = \frac{5}{2} \cdot (x - 2) + 1$

Bước 5.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{5}{2} x + \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Bước 5.2.1.3

Kết hợp $\frac{5}{2}$ và $x$ .

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Bước 5.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot (2 (- 1)) + 1$

Bước 5.2.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 1$

Bước 5.2.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 1 + 1$

Bước 5.2.1.5

Nhân $5$ với $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{2} - 5 + 1$

Bước 5.2.2

Cộng $- 5$ và $1$ .

$y = \frac{5 x}{2} - 4$

Bước 6

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

Bước 6.2

Rút gọn $- \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$y = - \frac{5}{2} \cdot (x - 2) + 1$

Bước 6.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = - \frac{5}{2} x - \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Bước 6.2.1.3

Kết hợp $x$ và $\frac{5}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} - \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Bước 6.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{5}{2}$ vào tử số.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot - 2 + 1$

Bước 6.2.1.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot (2 (- 1)) + 1$

Bước 6.2.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 1$

Bước 6.2.1.4.4

Viết lại biểu thức.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} - 5 \cdot - 1 + 1$

Bước 6.2.1.5

Nhân $- 5$ với $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + 5 + 1$

Bước 6.2.1.6

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = - \frac{5 x}{2} + 5 + 1$

Bước 6.2.2

Cộng $5$ và $1$ .

$y = - \frac{5 x}{2} + 6$

Bước 7

Hyperbol này có hai tiệm cận.

$y = \frac{5 x}{2} - 4, y = - \frac{5 x}{2} + 6$

Bước 8

Các tiệm cận là $y = \frac{5 x}{2} - 4$ và $y = - \frac{5 x}{2} + 6$ .

Các đường tiệm cận: $y = \frac{5 x}{2} - 4, y = - \frac{5 x}{2} + 6$

Bước 9