Lượng giác Ví dụ

$4 \sin^{2} (x) = 2 \cos (x) + 1$

Bước 1

Chuyển tất cả các biểu thức sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $2 \cos (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 1$

Bước 1.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Bước 2

Thay thế $4 \sin^{2} (x)$ bằng $4 (1 - \cos^{2} (x))$ dựa trên đẳng thức $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Bước 3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \cdot 1 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Bước 3.2

Nhân $4$ với $1$ .

$4 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Bước 3.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$4 - 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Bước 4

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$- 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) + 3 = 0$

Bước 5

Thay $u$ bằng $\cos (x)$ .

$- 4 {(u)}^{2} - 2 u + 3 = 0$

Bước 6

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 7

Thay các giá trị $a = - 4$ , $b = - 2$ , và $c = 3$ vào công thức bậc hai và giải tìm $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot 3)}}{2 \cdot - 4}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4 \cdot 3}}{2 \cdot - 4}$

Bước 8.1.2

Nhân $- 4 \cdot - 4 \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1

Nhân $- 4$ với $- 4$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16 \cdot 3}}{2 \cdot - 4}$

Bước 8.1.2.2

Nhân $16$ với $3$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2 \cdot - 4}$

Bước 8.1.3

Cộng $4$ và $48$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot - 4}$

Bước 8.1.4

Viết lại $52$ ở dạng $2^{2} \cdot 13$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $52$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot - 4}$

Bước 8.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot - 4}$

Bước 8.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot - 4}$

Bước 8.2

Nhân $2$ với $- 4$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{- 8}$

Bước 8.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{- 8}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{- 4}$

Bước 8.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$u = - \frac{1 \pm \sqrt{13}}{4}$

Bước 9

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$u = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}, - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

Bước 10

Thay $\cos (x)$ bằng $u$ .

$\cos (x) = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}, - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

Bước 11

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\cos (x) = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

Bước 12

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Khoảng biến thiên của cosin là $- 1 \leq y \leq 1$ . Vì $- \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$ không nằm trong khoảng biến thiên này, nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 13

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (- \frac{1 - \sqrt{13}}{4})$

Bước 13.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Tính $\arccos (- \frac{1 - \sqrt{13}}{4})$ .

$x = 0.86138422$

Bước 13.3

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 (3.14159265) - 0.86138422$

Bước 13.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = 2 (3.14159265) - 0.86138422$

Bước 13.4.2

Rút gọn $2 (3.14159265) - 0.86138422$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.2.1

Nhân $2$ với $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 0.86138422$

Bước 13.4.2.2

Trừ $0.86138422$ khỏi $6.2831853$ .

$x = 5.42180108$

Bước 13.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 13.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 13.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 13.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 13.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 0.86138422 + 2 π n, 5.42180108 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 14

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = 0.86138422 + 2 π n, 5.42180108 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$