Lượng giác Ví dụ

$r^{2} = - 4 \cos (2 x)$

Bước 1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$r = \pm \sqrt{- 4 \cos (2 x)}$

Bước 2

Rút gọn $\pm \sqrt{- 4 \cos (2 x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $- 4 \cos (2 x)$ ở dạng $2^{2} \cdot (- 1 \cos (2 x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$r = \pm \sqrt{4 (- 1) \cos (2 x)}$

Bước 2.1.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$r = \pm \sqrt{2^{2} \cdot - 1 \cos (2 x)}$

Bước 2.1.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$r = \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 \cos (2 x))}$

Bước 2.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$r = \pm 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Bước 3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Bước 3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Bước 3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Bước 4

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{- 1 \cos (2 x)}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$- 1 \cos (2 x) \geq 0$

Bước 5

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia mỗi số hạng trong $- 1 \cos (2 x) \geq 0$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Chia mỗi số hạng trong $- 1 \cos (2 x) \geq 0$ cho $- 1$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- 1 \cos (2 x)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Bước 5.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\cos (2 x)}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Bước 5.1.2.2

Chia $\cos (2 x)$ cho $1$ .

$\cos (2 x) \leq \frac{0}{- 1}$

Bước 5.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Chia $0$ cho $- 1$ .

$\cos (2 x) \leq 0$

Bước 5.2

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$2 x \leq \arccos (0)$

Bước 5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$2 x \leq \frac{π}{2}$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $2 x \leq \frac{π}{2}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x \leq \frac{π}{2}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 5.4.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x \leq \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 5.4.3.2

Nhân $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.2.1

Nhân $\frac{π}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$x \leq \frac{π}{2 \cdot 2}$

Bước 5.4.3.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x \leq \frac{π}{4}$

Bước 5.5

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 5.6

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 5.6.1.2

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 5.6.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 5.6.1.4

Nhân $2$ với $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 5.6.1.5

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Bước 5.6.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{3 π}{2}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{3 π}{2}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Bước 5.6.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Bước 5.6.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Bước 5.6.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 5.6.2.3.2

Nhân $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.3.2.1

Nhân $\frac{3 π}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Bước 5.6.2.3.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 5.7

Tìm chu kỳ của $\cos (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 5.7.2

Thay thế $b$ với $2$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Bước 5.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Bước 5.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 π}{2}$

Bước 5.7.4.2

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 5.8

Chu kỳ của hàm $\cos (2 x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5.9

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5.10

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$

Bước 5.11

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.11.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.11.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 2$

Bước 5.11.1.2

Thay thế $x$ bằng $2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$- 1 \cos (2 (2)) \geq 0$

Bước 5.11.1.3

Vế trái $0.65364362$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 5.11.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.11.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 3$

Bước 5.11.2.2

Thay thế $x$ bằng $3$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$- 1 \cos (2 (3)) \geq 0$

Bước 5.11.2.3

Vế trái $- 0.96017028$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 5.11.3

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ Đúng

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ Sai

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ Đúng

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ Sai

Bước 5.12

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$\frac{π}{4} + π n \leq x \leq \frac{3 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 6

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x = \frac{π}{4} + π n, x = \frac{3 π}{4} + π n}$

Bước 7