Lượng giác Ví dụ

$\sin (arcsec (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}))$

Bước 1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(1, \sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $arcsec (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(1, \sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1^{2}})$ . Do đó, $\sin (arcsec (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}))$ là $\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1}}{\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}}$ .

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1}}{\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}}$

Bước 2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 3

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1^{2}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}$ và $b = 1$ .

$\sqrt{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} + 1) (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} - 1)} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\sqrt{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} + \frac{u}{u}) (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} - 1)} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 5.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u} (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} - 1)} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 5.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{u}{u}$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u} (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} - 1 \cdot \frac{u}{u})} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 5.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{u}{u}$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u} (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} + \frac{- u}{u})} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 5.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u} \cdot \frac{\sqrt{u^{2} + 25} - u}{u}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u}$ với $\frac{\sqrt{u^{2} + 25} - u}{u}$ .

$\sqrt{\frac{(\sqrt{u^{2} + 25} + u) (\sqrt{u^{2} + 25} - u)}{u \cdot u}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 6.2

Nhân $u$ với $u$ .

$\sqrt{\frac{(\sqrt{u^{2} + 25} + u) (\sqrt{u^{2} + 25} - u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 7

Khai triển $(\sqrt{u^{2} + 25} + u) (\sqrt{u^{2} + 25} - u)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} (\sqrt{u^{2} + 25} - u) + u (\sqrt{u^{2} + 25} - u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + \sqrt{u^{2} + 25} (- u) + u (\sqrt{u^{2} + 25} - u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + \sqrt{u^{2} + 25} (- u) + u \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 8

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + \sqrt{u^{2} + 25} (- u) + u \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $\sqrt{u^{2} + 25} (- u)$ và $u \sqrt{u^{2} + 25}$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} - u \sqrt{u^{2} + 25} + u \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 8.1.2

Cộng $- u \sqrt{u^{2} + 25}$ và $u \sqrt{u^{2} + 25}$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + 0 + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 8.1.3

Cộng $\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25}$ và $0$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 8.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nhân $\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Nâng $\sqrt{u^{2} + 25}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 8.2.1.2

Nâng $\sqrt{u^{2} + 25}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} {\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 8.2.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sqrt{\frac{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1 + 1} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 8.2.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{2} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 8.2.2

Viết lại ${\sqrt{u^{2} + 25}}^{2}$ ở dạng $u^{2} + 25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u^{2} + 25}$ ở dạng ${(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{({(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 8.2.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{{(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 8.2.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\sqrt{\frac{{(u^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 8.2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{\frac{{(u^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 8.2.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{\frac{{(u^{2} + 25)}^{1} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 8.2.2.5

Rút gọn.

$\sqrt{\frac{u^{2} + 25 + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 8.2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\sqrt{\frac{u^{2} + 25 - u \cdot u}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 8.2.4

Nhân $u$ với $u$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.1

Di chuyển $u$ .

$\sqrt{\frac{u^{2} + 25 - (u \cdot u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 8.2.4.2

Nhân $u$ với $u$ .

$\sqrt{\frac{u^{2} + 25 - u^{2}}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 8.3

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $u^{2} + 25 - u^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Trừ $u^{2}$ khỏi $u^{2}$ .

$\sqrt{\frac{0 + 25}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 8.3.1.2

Cộng $0$ và $25$ .

$\sqrt{\frac{25}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 8.3.2

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$\sqrt{\frac{5^{2}}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 9

Viết lại $\frac{5^{2}}{u^{2}}$ ở dạng ${(\frac{5}{u})}^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{5}{u})}^{2}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 10

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{5}{u} \cdot \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 11

Kết hợp.

$\frac{5 u}{u \sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 12

Triệt tiêu thừa số chung $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 u}{u \sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 12.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{5}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 13

Nhân $\frac{5}{\sqrt{u^{2} + 25}}$ với $\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{\sqrt{u^{2} + 25}}$ .

$\frac{5}{\sqrt{u^{2} + 25}} \cdot \frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 14

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Nhân $\frac{5}{\sqrt{u^{2} + 25}}$ với $\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{\sqrt{u^{2} + 25}}$ .

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 14.2

Nâng $\sqrt{u^{2} + 25}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} \sqrt{u^{2} + 25}}$

Bước 14.3

Nâng $\sqrt{u^{2} + 25}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} {\sqrt{u^{2} + 25}}^{1}}$

Bước 14.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1 + 1}}$

Bước 14.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{2}}$

Bước 14.6

Viết lại ${\sqrt{u^{2} + 25}}^{2}$ ở dạng $u^{2} + 25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u^{2} + 25}$ ở dạng ${(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{({(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 14.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 14.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{(u^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 14.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{(u^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 14.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{(u^{2} + 25)}^{1}}$

Bước 14.6.5

Rút gọn.

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{u^{2} + 25}$