Lượng giác Ví dụ

$\cot (3 x) < 0$

Bước 1

Lấy nghịch đảo cotang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm cotang.

$3 x < arccot (0)$

Bước 2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Giá trị chính xác của $arccot (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$3 x < \frac{π}{2}$

Bước 3

Chia mỗi số hạng trong $3 x < \frac{π}{2}$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x < \frac{π}{2}$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Bước 3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x < \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x < \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 3.3.2

Nhân $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nhân $\frac{π}{2}$ với $\frac{1}{3}$ .

$x < \frac{π}{2 \cdot 3}$

Bước 3.3.2.2

Nhân $2$ với $3$ .

$x < \frac{π}{6}$

Bước 4

Hàm cotang dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy thêm góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$3 x = π + \frac{π}{2}$

Bước 5

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$3 x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Bước 5.1.2

Kết hợp $π$ và $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Bước 5.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Bước 5.1.4

Cộng $π \cdot 2$ và $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Sắp xếp lại $π$ và $2$ .

$3 x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Bước 5.1.4.2

Cộng $2 \cdot π$ và $π$ .

$3 x = \frac{3 \cdot π}{2}$

Bước 5.2

Chia mỗi số hạng trong $3 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{3}$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{3}$

Bước 5.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{3}$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{3 \cdot π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 5.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 \cdot π$ .

$x = \frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 5.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 5.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{π}{2}$

Bước 6

Tìm chu kỳ của $\cot (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 6.2

Thay thế $b$ với $3$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 3 |}$

Bước 6.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $3$ là $3$ .

$\frac{π}{3}$

Bước 7

Chu kỳ của hàm $\cot (3 x)$ là $\frac{π}{3}$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $\frac{π}{3}$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{2} + \frac{π n}{3}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 9

Tìm tập xác định của $\cot (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Đặt đối số trong $\cot (3 x)$ bằng $π n$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$3 x = π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 9.2

Chia mỗi số hạng trong $3 x = π n$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = π n$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3}$

Bước 9.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3}$

Bước 9.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{π n}{3}$

Bước 9.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

${x | x \neq \frac{π n}{3}}$ $n$ , đối với bất kỳ số nguyên $n$ nào

Bước 10

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$0 < x < \frac{π}{6}$

$\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$

Bước 11

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < x < \frac{π}{6}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < x < \frac{π}{6}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0.26$

Bước 11.1.2

Thay thế $x$ bằng $0.26$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\cot (3 (0.26)) < 0$

Bước 11.1.3

Vế trái $1.01085502$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 11.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 1$

Bước 11.2.2

Thay thế $x$ bằng $1$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\cot (3 (1)) < 0$

Bước 11.2.3

Vế trái $- 7.01525255$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 11.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 1.31$

Bước 11.3.2

Thay thế $x$ bằng $1.31$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\cot (3 (1.31)) < 0$

Bước 11.3.3

Vế trái $0.99399967$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 11.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$0 < x < \frac{π}{6}$ Sai

$\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ Đúng

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Sai

$0 < x < \frac{π}{6}$ Sai

$\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ Đúng

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Sai

Bước 12

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$\frac{π}{6} + \frac{π n}{3} < x < \frac{π}{3} + \frac{π n}{3}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 13