Lượng giác Ví dụ

$\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (x)} < 1 + \sqrt{3}$

Bước 1

Thay $u$ bằng $\tan (x)$ .

$(u) + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$

Bước 2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$1, u, 1, 1$

Bước 2.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$u$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng trong $u + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$ với $u$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân mỗi số hạng trong $u + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$ với $u$ .

$u \cdot u + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Nhân $u$ với $u$ .

$u^{2} + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

Bước 3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u^{2} + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

Bước 3.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$u^{2} + \sqrt{3} < 1 u + \sqrt{3} u$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $u$ với $1$ .

$u^{2} + \sqrt{3} < u + \sqrt{3} u$

Bước 4

Giải bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại để $u$ nằm ở vế trái của bất đẳng thức.

$u + \sqrt{3} u > u^{2} + \sqrt{3}$

Bước 4.2

Trừ $u^{2}$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} > \sqrt{3}$

Bước 4.3

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} = \sqrt{3}$

Bước 4.4

Trừ $\sqrt{3}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} - \sqrt{3} = 0$

Bước 4.5

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$- u^{2} + u + u \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$

Bước 4.5.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$- u^{2} + u + u \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$

Bước 4.5.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$u (- u + 1) - \sqrt{3} (- u + 1) = 0$

Bước 4.5.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- u + 1$ .

$(- u + 1) (u - \sqrt{3}) = 0$

Bước 4.6

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$- u + 1 = 0$

$u - \sqrt{3} = 0$

Bước 4.7

Đặt $- u + 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Đặt $- u + 1$ bằng với $0$ .

$- u + 1 = 0$

Bước 4.7.2

Giải $- u + 1 = 0$ để tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- u = - 1$

Bước 4.7.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- u = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- u = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 4.7.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{u}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 4.7.2.2.2.2

Chia $u$ cho $1$ .

$u = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 4.7.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.2.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$u = 1$

Bước 4.8

Đặt $u - \sqrt{3}$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Đặt $u - \sqrt{3}$ bằng với $0$ .

$u - \sqrt{3} = 0$

Bước 4.8.2

Cộng $\sqrt{3}$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = \sqrt{3}$

Bước 4.9

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(- u + 1) (u - \sqrt{3}) = 0$ đúng.

$u = 1, \sqrt{3}$

Bước 5

Thay $\tan (x)$ bằng $u$ .

$\tan (x) = 1, \sqrt{3}$

Bước 6

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\tan (x) = 1$

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Bước 7

Giải tìm $x$ trong $\tan (x) = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (1)$

Bước 7.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Giá trị chính xác của $\arctan (1)$ là $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Bước 7.3

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = π + \frac{π}{4}$

Bước 7.4

Rút gọn $π + \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 7.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 7.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Bước 7.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.3.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Bước 7.4.3.2

Cộng $4 π$ và $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Bước 7.5

Tìm chu kỳ của $\tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 7.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 7.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 7.5.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 7.6

Chu kỳ của hàm $\tan (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8

Giải tìm $x$ trong $\tan (x) = \sqrt{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Bước 8.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Giá trị chính xác của $\arctan (\sqrt{3})$ là $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Bước 8.3

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = π + \frac{π}{3}$

Bước 8.4

Rút gọn $π + \frac{π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Bước 8.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Bước 8.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Bước 8.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.3.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Bước 8.4.3.2

Cộng $3 π$ và $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Bước 8.5

Tìm chu kỳ của $\tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 8.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 8.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 8.5.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 8.6

Chu kỳ của hàm $\tan (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 9

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 10

Hợp nhất các đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hợp nhất $\frac{π}{4} + π n$ và $\frac{5 π}{4} + π n$ để $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 10.2

Hợp nhất $\frac{π}{3} + π n$ và $\frac{4 π}{3} + π n$ để $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 11

Tìm tập xác định của $\tan (x) + \sqrt{3} \cot (x) - 1 - \sqrt{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Đặt đối số trong $\tan (x)$ bằng $\frac{π}{2} + π n$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 11.2

Đặt đối số trong $\cot (x)$ bằng $π n$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 11.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n, x \neq π n}$ $n$ , đối với bất kỳ số nguyên $n$ nào

Bước 12

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$

Bước 13

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 1$

Bước 13.1.2

Thay thế $x$ bằng $1$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\tan (1) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (1)} < 1 + \sqrt{3}$

Bước 13.1.3

Vế trái $2.66954475$ nhỏ hơn vế phải $2.7320508$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 13.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 2$

Bước 13.2.2

Thay thế $x$ bằng $2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\tan (2) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (2)} < 1 + \sqrt{3}$

Bước 13.2.3

Vế trái $- 2.97772599$ nhỏ hơn vế phải $2.7320508$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 13.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 13.3.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\tan (4) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (4)} < 1 + \sqrt{3}$

Bước 13.3.3

Vế trái $2.65377824$ nhỏ hơn vế phải $2.7320508$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 13.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ Đúng

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ Đúng

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ Đúng

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ Đúng

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ Đúng

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ Đúng

Bước 14

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$\frac{π}{4} + π n < x < \frac{π}{3} + π n$ or $\frac{π}{3} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n$ or $\frac{5 π}{4} + π n < x < \frac{4 π}{3} + π n$ , for any integer $n$

Bước 15

Kết hợp các khoảng.

$\frac{π}{3} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n or \frac{π}{4} + π n < x < \frac{π}{3} + π n or \frac{5 π}{4} + π n < x < \frac{4 π}{3} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 16