Lượng giác Ví dụ

$\csc^{5} (x) - 4 \csc (x) = 0$

Bước 1

Phân tích $\csc^{5} (x) - 4 \csc (x)$ thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $\csc (x)$ ra ngoài $\csc^{5} (x) - 4 \csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $\csc (x)$ ra ngoài $\csc^{5} (x)$ .

$\csc (x) \csc^{4} (x) - 4 \csc (x) = 0$

Bước 1.1.2

Đưa $\csc (x)$ ra ngoài $- 4 \csc (x)$ .

$\csc (x) \csc^{4} (x) + \csc (x) \cdot - 4 = 0$

Bước 1.1.3

Đưa $\csc (x)$ ra ngoài $\csc (x) \csc^{4} (x) + \csc (x) \cdot - 4$ .

$\csc (x) (\csc^{4} (x) - 4) = 0$

Bước 1.2

Viết lại $\csc^{4} (x)$ ở dạng ${(\csc^{2} (x))}^{2}$ .

$\csc (x) ({(\csc^{2} (x))}^{2} - 4) = 0$

Bước 1.3

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\csc (x) ({(\csc^{2} (x))}^{2} - 2^{2}) = 0$

Bước 1.4

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \csc^{2} (x)$ và $b = 2$ .

$\csc (x) ((\csc^{2} (x) + 2) (\csc^{2} (x) - 2)) = 0$

Bước 1.4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$\csc (x) (\csc^{2} (x) + 2) (\csc^{2} (x) - 2) = 0$

Bước 2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\csc (x) = 0$

$\csc^{2} (x) + 2 = 0$

$\csc^{2} (x) - 2 = 0$

Bước 3

Đặt $\csc (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt $\csc (x)$ bằng với $0$ .

$\csc (x) = 0$

Bước 3.2

Khoảng biến thiên của cosecant là $y \leq - 1$ và $y \geq 1$ . Vì $0$ không nằm trong khoảng biến thiên này, nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 4

Đặt $\csc^{2} (x) - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $\csc^{2} (x) - 2$ bằng với $0$ .

$\csc^{2} (x) - 2 = 0$

Bước 4.2

Giải $\csc^{2} (x) - 2 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$\csc^{2} (x) = 2$

Bước 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{2}$

Bước 4.2.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$\csc (x) = \sqrt{2}$

Bước 4.2.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

Bước 4.2.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$\csc (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Bước 4.2.4

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\csc (x) = \sqrt{2}$

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

Bước 4.2.5

Giải tìm $x$ trong $\csc (x) = \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Lấy cosecant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ bên trong cosecant.

$x = arccsc (\sqrt{2})$

Bước 4.2.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.2.1

Giá trị chính xác của $arccsc (\sqrt{2})$ là $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Bước 4.2.5.3

Hàm cosecant dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - \frac{π}{4}$

Bước 4.2.5.4

Rút gọn $π - \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.4.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 4.2.5.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.4.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 4.2.5.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Bước 4.2.5.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.4.3.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Bước 4.2.5.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 4.2.5.5

Tìm chu kỳ của $\csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 4.2.5.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 4.2.5.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 4.2.5.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 4.2.5.6

Chu kỳ của hàm $\csc (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4.2.6

Giải tìm $x$ trong $\csc (x) = - \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1

Lấy cosecant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ bên trong cosecant.

$x = arccsc (- \sqrt{2})$

Bước 4.2.6.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.2.1

Giá trị chính xác của $arccsc (- \sqrt{2})$ là $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Bước 4.2.6.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Bước 4.2.6.4

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.4.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Bước 4.2.6.4.2

Góc tìm được $\frac{5 π}{4}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Bước 4.2.6.5

Tìm chu kỳ của $\csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 4.2.6.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 4.2.6.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 4.2.6.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 4.2.6.6

Cộng $2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.6.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{4}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Bước 4.2.6.6.2

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 4.2.6.6.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.6.3.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 4.2.6.6.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Bước 4.2.6.6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.6.4.1

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Bước 4.2.6.6.4.2

Trừ $π$ khỏi $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Bước 4.2.6.6.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{7 π}{4}$

Bước 4.2.6.7

Chu kỳ của hàm $\csc (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4.2.7

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4.2.8

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $\csc (x) (\csc^{2} (x) + 2) (\csc^{2} (x) - 2) = 0$ đúng.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$