Lượng giác Ví dụ

$2 \sin^{2} (x) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Bước 1

Thay thế $2 \sin^{2} (x)$ bằng $2 (1 - \cos^{2} (x))$ dựa trên đẳng thức $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Bước 2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Bước 2.2

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Bước 2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Bước 3

Cộng $2$ và $1$ .

$- 2 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) + 3 = 0$

Bước 4

Thay $u$ bằng $\cos (x)$ .

$- 2 {(u)}^{2} - 6 u + 3 = 0$

Bước 5

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 6

Thay các giá trị $a = - 2$ , $b = - 6$ , và $c = 3$ vào công thức bậc hai và giải tìm $u$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 3)}}{2 \cdot - 2}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 2 \cdot 3}}{2 \cdot - 2}$

Bước 7.1.2

Nhân $- 4 \cdot - 2 \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Nhân $- 4$ với $- 2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 \cdot 3}}{2 \cdot - 2}$

Bước 7.1.2.2

Nhân $8$ với $3$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24}}{2 \cdot - 2}$

Bước 7.1.3

Cộng $36$ và $24$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot - 2}$

Bước 7.1.4

Viết lại $60$ ở dạng $2^{2} \cdot 15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $60$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot - 2}$

Bước 7.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot - 2}$

Bước 7.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot - 2}$

Bước 7.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{- 4}$

Bước 7.3

Rút gọn $\frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{- 4}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{15}}{- 2}$

Bước 7.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{15}}{2}$

Bước 8

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$u = - \frac{3 + \sqrt{15}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$

Bước 9

Thay $\cos (x)$ bằng $u$ .

$\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{15}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$

Bước 10

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{15}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$

Bước 11

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{15}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Khoảng biến thiên của cosin là $- 1 \leq y \leq 1$ . Vì $- \frac{3 + \sqrt{15}}{2}$ không nằm trong khoảng biến thiên này, nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 12

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (- \frac{3 - \sqrt{15}}{2})$

Bước 12.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Tính $\arccos (- \frac{3 - \sqrt{15}}{2})$ .

$x = 1.11910076$

Bước 12.3

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 (3.14159265) - 1.11910076$

Bước 12.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = 2 (3.14159265) - 1.11910076$

Bước 12.4.2

Rút gọn $2 (3.14159265) - 1.11910076$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.2.1

Nhân $2$ với $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.11910076$

Bước 12.4.2.2

Trừ $1.11910076$ khỏi $6.2831853$ .

$x = 5.16408454$

Bước 12.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 12.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 12.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 12.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 12.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 1.11910076 + 2 π n, 5.16408454 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 13

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = 1.11910076 + 2 π n, 5.16408454 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$