Lượng giác Ví dụ

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{5}}{7}$

Bước 1

Sử dụng định nghĩa của sin để tìm các cạnh đã biết của tam giác vuông nội tiếp đường tròn đơn vị. Góc phần tư xác định dấu của mỗi giá trị.

$\sin (θ) = \frac{đối diện}{cạnh huyền}$

Bước 2

Tìm cạnh kề của tam giác nội tiếp đường tròn đơn vị. Vì cạnh huyền và cạnh đối đã biết, ta sử dụng định lý Pytago để tìm cạnh còn lại.

$Góc kề = \sqrt{{cạnh huyền}^{2} - {đối diện}^{2}}$

Bước 3

Thay thế các giá trị đã biết trong phương trình.

$Góc kề = \sqrt{{(7)}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Bước 4

Rút gọn phần bên trong căn thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nâng $7$ lên lũy thừa $2$ .

Cạnh kề $= \sqrt{49 - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Bước 4.2

Viết lại ${\sqrt{5}}^{2}$ ở dạng $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{5}$ ở dạng $5^{\frac{1}{2}}$ .

Cạnh kề $= \sqrt{49 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 4.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Cạnh kề $= \sqrt{49 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 4.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

Cạnh kề $= \sqrt{49 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Cạnh kề $= \sqrt{49 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.2.4.2

Viết lại biểu thức.

Cạnh kề $= \sqrt{49 - 5}$

Bước 4.2.5

Tính số mũ.

Cạnh kề $= \sqrt{49 - 1 \cdot 5}$

Bước 4.3

Nhân $- 1$ với $5$ .

Cạnh kề $= \sqrt{49 - 5}$

Bước 4.4

Trừ $5$ khỏi $49$ .

Cạnh kề $= \sqrt{44}$

Bước 4.5

Viết lại $44$ ở dạng $2^{2} \cdot 11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $44$ .

Cạnh kề $= \sqrt{4 (11)}$

Bước 4.5.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

Cạnh kề $= \sqrt{2^{2} \cdot 11}$

Bước 4.6

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

Cạnh kề $= 2 \sqrt{11}$

Bước 5

Tìm cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng định nghĩa của cosin để tìm giá trị của $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Bước 5.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{11}}{7}$

Bước 6

Tìm tang.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng định nghĩa của tang để tìm giá trị của $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Bước 6.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{11}}$

Bước 6.3

Rút gọn giá trị của $\tan (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{11}}$ với $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

Bước 6.3.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Nhân $\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{11}}$ với $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \sqrt{11} \sqrt{11}}$

Bước 6.3.2.2

Di chuyển $\sqrt{11}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

Bước 6.3.2.3

Nâng $\sqrt{11}$ lên lũy thừa $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

Bước 6.3.2.4

Nâng $\sqrt{11}$ lên lũy thừa $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

Bước 6.3.2.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 {\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

Bước 6.3.2.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 {\sqrt{11}}^{2}}$

Bước 6.3.2.7

Viết lại ${\sqrt{11}}^{2}$ ở dạng $11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{11}$ ở dạng $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 6.3.2.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 6.3.2.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{2}{2}}}$

Bước 6.3.2.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{2}{2}}}$

Bước 6.3.2.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \cdot 11}$

Bước 6.3.2.7.5

Tính số mũ.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \cdot 11}$

Bước 6.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5 \cdot 11}}{2 \cdot 11}$

Bước 6.3.3.2

Nhân $5$ với $11$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{55}}{2 \cdot 11}$

Bước 6.3.4

Nhân $2$ với $11$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{55}}{22}$

Bước 7

Tìm cotang.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sử dụng định nghĩa của cotang để tìm giá trị của $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Bước 7.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11}}{\sqrt{5}}$

Bước 7.3

Rút gọn giá trị của $\cot (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân $\frac{2 \sqrt{11}}{\sqrt{5}}$ với $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Bước 7.3.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Nhân $\frac{2 \sqrt{11}}{\sqrt{5}}$ với $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Bước 7.3.2.2

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Bước 7.3.2.3

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Bước 7.3.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Bước 7.3.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Bước 7.3.2.6

Viết lại ${\sqrt{5}}^{2}$ ở dạng $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{5}$ ở dạng $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 7.3.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 7.3.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Bước 7.3.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Bước 7.3.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{5}$

Bước 7.3.2.6.5

Tính số mũ.

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{5}$

Bước 7.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{5 \cdot 11}}{5}$

Bước 7.3.3.2

Nhân $5$ với $11$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{55}}{5}$

Bước 8

Tìm secant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Sử dụng định nghĩa của secant để tìm giá trị của $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Bước 8.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\sec (θ) = \frac{7}{2 \sqrt{11}}$

Bước 8.3

Rút gọn giá trị của $\sec (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nhân $\frac{7}{2 \sqrt{11}}$ với $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\sec (θ) = \frac{7}{2 \sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

Bước 8.3.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Nhân $\frac{7}{2 \sqrt{11}}$ với $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 \sqrt{11} \sqrt{11}}$

Bước 8.3.2.2

Di chuyển $\sqrt{11}$ .

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

Bước 8.3.2.3

Nâng $\sqrt{11}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

Bước 8.3.2.4

Nâng $\sqrt{11}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

Bước 8.3.2.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 {\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

Bước 8.3.2.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 {\sqrt{11}}^{2}}$

Bước 8.3.2.7

Viết lại ${\sqrt{11}}^{2}$ ở dạng $11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{11}$ ở dạng $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 8.3.2.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 8.3.2.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{2}{2}}}$

Bước 8.3.2.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{2}{2}}}$

Bước 8.3.2.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 \cdot 11}$

Bước 8.3.2.7.5

Tính số mũ.

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 \cdot 11}$

Bước 8.3.3

Nhân $2$ với $11$ .

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{22}$

Bước 9

Tìm cosecant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Sử dụng định nghĩa của cosecant để tìm giá trị của $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Bước 9.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\csc (θ) = \frac{7}{\sqrt{5}}$

Bước 9.3

Rút gọn giá trị của $\csc (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nhân $\frac{7}{\sqrt{5}}$ với $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = \frac{7}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Bước 9.3.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Nhân $\frac{7}{\sqrt{5}}$ với $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Bước 9.3.2.2

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Bước 9.3.2.3

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Bước 9.3.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Bước 9.3.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Bước 9.3.2.6

Viết lại ${\sqrt{5}}^{2}$ ở dạng $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{5}$ ở dạng $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 9.3.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 9.3.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Bước 9.3.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Bước 9.3.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{5}$

Bước 9.3.2.6.5

Tính số mũ.

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{5}$

Bước 10

Đây là đáp án cho mỗi giá trị lượng giác.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{5}}{7}$

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{11}}{7}$

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{55}}{22}$

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{55}}{5}$

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{22}$

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{5}$