Lượng giác Ví dụ

$\frac{3 \sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 1}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Bước 1

Giả sử $u = \sin (x)$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $\sin (x)$ .

$\frac{3 u^{2} + 4 u + 1}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Bước 2

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ và có tổng là $b = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 u$ .

$\frac{3 u^{2} + 4 (u) + 1}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Bước 2.1.2

Viết lại $4$ ở dạng $1$ cộng $3$

$\frac{3 u^{2} + (1 + 3) u + 1}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Bước 2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 u^{2} + 1 u + 3 u + 1}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Bước 2.1.4

Nhân $u$ với $1$ .

$\frac{3 u^{2} + u + 3 u + 1}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Bước 2.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{(3 u^{2} + u) + 3 u + 1}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Bước 2.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{u (3 u + 1) + 1 (3 u + 1)}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Bước 2.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $3 u + 1$ .

$\frac{(3 u + 1) (u + 1)}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Bước 3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Bước 4

Giả sử $u = \sin (x)$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $\sin (x)$ .

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{u^{2} + 2 u + 1}$

Bước 5

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{u^{2} + 2 u + 1^{2}}$

Bước 5.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Bước 5.3

Viết lại đa thức này.

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}$

Bước 5.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = u$ và $b = 1$ .

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{{(u + 1)}^{2}}$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{{(\sin (x) + 1)}^{2}}$

Bước 7

Rút gọn biểu thức $\frac{(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{{(\sin (x) + 1)}^{2}}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đưa $\sin (x) + 1$ ra ngoài $(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)$ .

$\frac{(\sin (x) + 1) (3 \sin (x) + 1)}{{(\sin (x) + 1)}^{2}}$

Bước 7.2

Đưa $\sin (x) + 1$ ra ngoài ${(\sin (x) + 1)}^{2}$ .

$\frac{(\sin (x) + 1) (3 \sin (x) + 1)}{(\sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}$

Bước 7.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(\sin (x) + 1) (3 \sin (x) + 1)}{(\sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}$

Bước 7.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 \sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$