Lượng giác Ví dụ

$2 \cos (x) + \tan (x) = \sec (x)$

Bước 1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$2 \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sec (x)$

Bước 2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$2 \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 3

Nhân cả hai vế của phương trình với $\cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (x) (2 \cos (x)) + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 6

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 6.2

Viết lại biểu thức.

$2 \cos (x) \cos (x) + \sin (x) = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 7

Nhân $2 \cos (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \sin (x) = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 7.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \sin (x) = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 7.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 {\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 7.4

Cộng $1$ và $1$ .

$2 \cos^{2} (x) + \sin (x) = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 8

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cos^{2} (x) + \sin (x) = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 8.2

Viết lại biểu thức.

$2 \cos^{2} (x) + \sin (x) = 1$

Bước 9

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 \cos^{2} (x) + \sin (x) - 1 = 0$

Bước 10

Rút gọn $2 \cos^{2} (x) + \sin (x) - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Di chuyển $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + \sin (x) = 0$

Bước 10.2

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho cosin.

$\cos (2 x) + \sin (x) = 0$

Bước 11

Sử dụng đẳng thức góc nhân đôi để chuyển $\cos (2 x)$ thành $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Bước 12

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) + 1 = 0$

Bước 12.2

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ và có tổng là $b = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Nhân với $1$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) + 1 = 0$

Bước 12.2.2

Viết lại $1$ ở dạng $- 1$ cộng $2$

$- 2 \sin^{2} (x) + (- 1 + 2) \sin (x) + 1 = 0$

Bước 12.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) + 2 \sin (x) + 1 = 0$

Bước 12.3

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$- 2 \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) + 2 \sin (x) + 1 = 0$

Bước 12.3.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\sin (x) (- 2 \sin (x) - 1) - (- 2 \sin (x) - 1) = 0$

Bước 12.4

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- 2 \sin (x) - 1$ .

$(- 2 \sin (x) - 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Bước 13

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$- 2 \sin (x) - 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Bước 14

Đặt $- 2 \sin (x) - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Đặt $- 2 \sin (x) - 1$ bằng với $0$ .

$- 2 \sin (x) - 1 = 0$

Bước 14.2

Giải $- 2 \sin (x) - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$- 2 \sin (x) = 1$

Bước 14.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \sin (x) = 1$ cho $- 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \sin (x) = 1$ cho $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Bước 14.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Bước 14.2.2.2.1.2

Chia $\sin (x)$ cho $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 2}$

Bước 14.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Bước 14.2.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Bước 14.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (- \frac{1}{2})$ là $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Bước 14.2.5

Hàm sin âm trong góc phần tư thứ ba và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ đáp án khỏi $2 π$ , để tìm góc tham chiếu. Tiếp theo, cộng góc tham chiếu này vào $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Bước 14.2.6

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.6.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Bước 14.2.6.2

Góc tìm được $\frac{7 π}{6}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Bước 14.2.7

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 14.2.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 14.2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 14.2.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 14.2.8

Cộng $2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.8.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{6}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Bước 14.2.8.2

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 14.2.8.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.8.3.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 14.2.8.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Bước 14.2.8.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.8.4.1

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Bước 14.2.8.4.2

Trừ $π$ khỏi $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Bước 14.2.8.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{11 π}{6}$

Bước 14.2.9

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 15

Đặt $\sin (x) - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Đặt $\sin (x) - 1$ bằng với $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Bước 15.2

Giải $\sin (x) - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$\sin (x) = 1$

Bước 15.2.2

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (1)$

Bước 15.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.3.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (1)$ là $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 15.2.4

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - \frac{π}{2}$

Bước 15.2.5

Rút gọn $π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.5.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 15.2.5.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.5.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 15.2.5.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 15.2.5.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.5.3.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Bước 15.2.5.3.2

Trừ $π$ khỏi $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 15.2.6

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 15.2.6.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 15.2.6.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 15.2.6.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 15.2.7

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 16

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(- 2 \sin (x) - 1) (\sin (x) - 1) = 0$ đúng.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 17

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , cho mọi số nguyên $n$