Lượng giác Ví dụ

$(\cot (x) - 1) (\csc (x) + 1) = 0$

Bước 1

Rút gọn vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Khai triển $(\cot (x) - 1) (\csc (x) + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cot (x) (\csc (x) + 1) - 1 (\csc (x) + 1) = 0$

Bước 1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) \cdot 1 - 1 (\csc (x) + 1) = 0$

Bước 1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) \cdot 1 - 1 \csc (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Bước 1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Nhân $\cot (x)$ với $1$ .

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - 1 \csc (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Bước 1.2.2

Viết lại $- 1 \csc (x)$ ở dạng $- \csc (x)$ .

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Bước 1.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1 = 0$

Bước 2

Phân tích $\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1$ thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1 = 0$

Bước 2.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\cot (x) (\csc (x) + 1) - (\csc (x) + 1) = 0$

Bước 2.2

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $\csc (x) + 1$ .

$(\csc (x) + 1) (\cot (x) - 1) = 0$

Bước 3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\csc (x) + 1 = 0$

$\cot (x) - 1 = 0$

Bước 4

Đặt $\csc (x) + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $\csc (x) + 1$ bằng với $0$ .

$\csc (x) + 1 = 0$

Bước 4.2

Giải $\csc (x) + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\csc (x) = - 1$

Bước 4.2.2

Lấy cosecant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ bên trong cosecant.

$x = arccsc (- 1)$

Bước 4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Giá trị chính xác của $arccsc (- 1)$ là $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Bước 4.2.4

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Bước 4.2.5

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Bước 4.2.5.2

Góc tìm được $\frac{3 π}{2}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 4.2.6

Tìm chu kỳ của $\csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 4.2.6.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 4.2.6.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 4.2.6.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 4.2.7

Cộng $2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{2}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Bước 4.2.7.2

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 4.2.7.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.3.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 4.2.7.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 4.2.7.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.4.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Bước 4.2.7.4.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Bước 4.2.7.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 4.2.8

Chu kỳ của hàm $\csc (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5

Đặt $\cot (x) - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $\cot (x) - 1$ bằng với $0$ .

$\cot (x) - 1 = 0$

Bước 5.2

Giải $\cot (x) - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$\cot (x) = 1$

Bước 5.2.2

Lấy nghịch đảo cotang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm cotang.

$x = arccot (1)$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Giá trị chính xác của $arccot (1)$ là $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Bước 5.2.4

Hàm cotang dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy thêm góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = π + \frac{π}{4}$

Bước 5.2.5

Rút gọn $π + \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 5.2.5.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 5.2.5.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Bước 5.2.5.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.3.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Bước 5.2.5.3.2

Cộng $4 π$ và $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Bước 5.2.6

Tìm chu kỳ của $\cot (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 5.2.6.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 5.2.6.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 5.2.6.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 5.2.7

Chu kỳ của hàm $\cot (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(\csc (x) + 1) (\cot (x) - 1) = 0$ đúng.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 7

Hợp nhất $\frac{π}{4} + π n$ và $\frac{5 π}{4} + π n$ để $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$