Lượng giác Ví dụ

$\cos (67.5) \cos (22.5)$

Bước 1

Giá trị chính xác của $\cos (67.5)$ là $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $67.5$ dưới dạng một góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết được chia cho $2$ .

$\cos (\frac{135}{2}) \cos (22.5)$

Bước 1.2

Áp dụng đẳng thức góc chia đôi của cosin $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}) \cos (22.5)$

Bước 1.3

Thay đổi $+$ thành $\pm$ vì cosin dương trong góc phần tư thứ nhất.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}} \cos (22.5)$

Bước 1.4

Rút gọn $\sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}} \cos (22.5)$

Bước 1.4.2

Giá trị chính xác của $\cos (45)$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Bước 1.4.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Bước 1.4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Bước 1.4.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (22.5)$

Bước 1.4.6

Nhân $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.6.1

Nhân $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \cos (22.5)$

Bước 1.4.6.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} \cos (22.5)$

Bước 1.4.7

Viết lại $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \cos (22.5)$

Bước 1.4.8

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.8.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (22.5)$

Bước 1.4.8.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cos (22.5)$

Bước 2

Giá trị chính xác của $\cos (22.5)$ là $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $22.5$ dưới dạng một góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết được chia cho $2$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cos (\frac{45}{2})$

Bước 2.2

Áp dụng đẳng thức góc chia đôi của cosin $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})$

Bước 2.3

Thay đổi $+$ thành $\pm$ vì cosin dương trong góc phần tư thứ nhất.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}$

Bước 2.4

Giá trị chính xác của $\cos (45)$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Bước 2.5

Rút gọn $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Bước 2.5.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Bước 2.5.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Bước 2.5.4

Nhân $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1

Nhân $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Bước 2.5.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Bước 2.5.5

Viết lại $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Bước 2.5.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Bước 2.5.6.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Bước 3

Nhân $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ với $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.2

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3

Khai triển $(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2}) - \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 2 - \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 2 - \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.4.1.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.4.1.3

Nhân $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.3.1

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.4.1.3.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.4.1.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.4.1.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.4.1.4

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.4.1.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.4.1.4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.4.1.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.4.1.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{1}}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.4.1.4.5

Tính số mũ.

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.4.1.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.4.2

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$\frac{\sqrt{2 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.4.3

Trừ $2 \sqrt{2}$ khỏi $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.4.4

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.5

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

Bước 4

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

Dạng thập phân:

$0.35355339 \dots$