Lượng giác Ví dụ

$\cos (2 \arccos (x))$

Bước 1

Sử dụng đẳng thức góc nhân đôi để chuyển $\cos (2 x)$ thành $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (\arccos (x)) - \sin^{2} (\arccos (x))$

Bước 2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hàm cosin và arccosin là nghịch đảo.

$x^{2} - \sin^{2} (\arccos (x))$

Bước 2.2

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\arccos (x)$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Do đó, $\sin (\arccos (x))$ là $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x^{2} - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}$

Bước 2.3

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$x^{2} - {\sqrt{1^{2} - x^{2}}}^{2}$

Bước 2.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = x$ .

$x^{2} - {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

Bước 2.5

Viết lại ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ ở dạng $(1 + x) (1 - x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ ở dạng ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} - {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Bước 2.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Bước 2.5.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Bước 2.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Bước 2.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{1}$

Bước 2.5.5

Rút gọn.

$x^{2} - ((1 + x) (1 - x))$

Bước 2.6

Khai triển $(1 + x) (1 - x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} - (1 (1 - x) + x (1 - x))$

Bước 2.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))$

Bước 2.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

Bước 2.7

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$x^{2} - (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

Bước 2.7.1.2

Nhân $- x$ với $1$ .

$x^{2} - (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))$

Bước 2.7.1.3

Nhân $x$ với $1$ .

$x^{2} - (1 - x + x + x (- x))$

Bước 2.7.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$x^{2} - (1 - x + x - x \cdot x)$

Bước 2.7.1.5

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.5.1

Di chuyển $x$ .

$x^{2} - (1 - x + x - (x \cdot x))$

Bước 2.7.1.5.2

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} - (1 - x + x - x^{2})$

Bước 2.7.2

Cộng $- x$ và $x$ .

$x^{2} - (1 + 0 - x^{2})$

Bước 2.7.3

Cộng $1$ và $0$ .

$x^{2} - (1 - x^{2})$

Bước 2.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} - 1 \cdot 1 - - x^{2}$

Bước 2.9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$x^{2} - 1 - - x^{2}$

Bước 2.10

Nhân $- - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x^{2} - 1 + 1 x^{2}$

Bước 2.10.2

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$x^{2} - 1 + x^{2}$

Bước 3

Cộng $x^{2}$ và $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 1$