Lượng giác Ví dụ

$\frac{\sec (x) - 1}{\tan (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x) + 1}$

Bước 1

Bắt đầu ở phía bên phải.

$\frac{\tan (x)}{\sec (x) + 1}$

Bước 2

Nhân $\frac{\tan (x)}{\sec (x) + 1}$ với $\frac{- \sec (x) + 1}{- \sec (x) + 1}$ .

$\frac{\tan (x)}{\sec (x) + 1} \cdot \frac{- \sec (x) + 1}{- \sec (x) + 1}$

Bước 3

Kết hợp.

$\frac{\tan (x) (- \sec (x) + 1)}{(\sec (x) + 1) (- \sec (x) + 1)}$

Bước 4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\tan (x) (- \sec (x)) + \tan (x) \cdot 1}{(\sec (x) + 1) (- \sec (x) + 1)}$

Bước 4.2

Nhân $\tan (x)$ với $1$ .

$\frac{\tan (x) (- \sec (x)) + \tan (x)}{(\sec (x) + 1) (- \sec (x) + 1)}$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\tan (x) (- \sec (x)) + \tan (x)$ .

$\frac{- \tan (x) \sec (x) + \tan (x)}{(\sec (x) + 1) (- \sec (x) + 1)}$

Bước 5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Khai triển $(\sec (x) + 1) (- \sec (x) + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) + \tan (x)}{\sec (x) (- \sec (x) + 1) + 1 (- \sec (x) + 1)}$

Bước 5.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) + \tan (x)}{\sec (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \sec (x) + 1)}$

Bước 5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) + \tan (x)}{\sec (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + 1 \cdot 1}$

Bước 5.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) + \tan (x)}{- \sec^{2} (x) + 1}$

Bước 6

Áp dụng đẳng thức Pytago.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{- \tan (x) \sec (x) + \tan (x)}{- (\sec^{2} (x)) + 1}$

Bước 6.2

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- \tan (x) \sec (x) + \tan (x)}{- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

Bước 6.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{- \tan (x) \sec (x) + \tan (x)}{- (\sec^{2} (x) - 1)}$

Bước 6.4

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) + \tan (x)}{- \tan^{2} (x)}$

Bước 7

Quy đổi sang sin và cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết $\tan (x)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sec (x) + \tan (x)}{- \tan^{2} (x)}$

Bước 7.2

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\sec (x)$ .

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)}{- \tan^{2} (x)}$

Bước 7.3

Viết $\tan (x)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \tan^{2} (x)}$

Bước 7.4

Viết $\tan (x)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Bước 7.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$(- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Bước 8.2

Nhân $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nhân $\frac{1}{\cos (x)}$ với $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(- \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Bước 8.2.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Bước 8.2.3

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Bước 8.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Bước 8.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Bước 8.3

Để viết $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Bước 8.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là ${\cos (x)}^{2}$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Nhân $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ với $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x) \cos (x)}{\cos (x) \cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Bước 8.4.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Bước 8.4.3

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Bước 8.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Bước 8.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Bước 8.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Bước 8.6

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $- \sin (x) + \sin (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $- \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Bước 8.6.2

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) (\cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Bước 8.6.3

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) (\cos (x))$ .

$\frac{\sin (x) (- 1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Bước 8.7

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.7.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ vào tử số.

$\frac{\sin (x) (- 1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 8.7.2

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài ${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{\sin (x) (- 1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{\sin (x) \sin (x)}$

Bước 8.7.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sin (x) (- 1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{\sin (x) \sin (x)}$

Bước 8.7.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1 + \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{\sin (x)}$

Bước 8.8

Triệt tiêu thừa số chung ${\cos (x)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.8.1

Đưa ${\cos (x)}^{2}$ ra ngoài $- {\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{- 1 + \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{\sin (x)}$

Bước 8.8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1 + \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{\sin (x)}$

Bước 8.8.3

Viết lại biểu thức.

$(- 1 + \cos (x)) \frac{- 1}{\sin (x)}$

Bước 8.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$(- 1 + \cos (x)) (- \frac{1}{\sin (x)})$

Bước 8.10

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 1 (- \frac{1}{\sin (x)}) + \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$

Bước 8.11

Nhân $- 1 (- \frac{1}{\sin (x)})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.11.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{1}{\sin (x)} + \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$

Bước 8.11.2

Nhân $\frac{1}{\sin (x)}$ với $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$

Bước 8.12

Kết hợp $\cos (x)$ và $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 9

Xét vế trái của phương trình.

$\frac{\sec (x) - 1}{\tan (x)}$

Bước 10

Quy đổi sang sin và cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\tan (x)}$

Bước 10.2

Viết $\tan (x)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$(\frac{1}{\cos (x)} - 1) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 11.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 11.3

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 11.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\sin (x)} - 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 11.4

Viết lại $- 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ ở dạng $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 12

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\frac{\sec (x) - 1}{\tan (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x) + 1}$ là một đẳng thức