Lượng giác Ví dụ

$\cot (x) + \sec (x) \csc (x) = \frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Bước 1

Bắt đầu ở phía bên phải.

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Bước 2

Cộng các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để viết $\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Bước 2.2

Để viết $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Bước 2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)}$ với $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Bước 2.3.2

Nhân $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ với $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Bước 2.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x)) + \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 3.1.2

Nhân $\tan (x)$ với $1$ .

$\frac{\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 3.1.4

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\frac{\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 3.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Khai triển $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 4.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 4.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

Bước 4.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Bước 5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 6

Quy đổi sang sin và cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết $\tan (x)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 6.2

Viết $\tan (x)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ vào tử số.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 7.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 7.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 7.1.2

Cộng $- \sin (x)$ và $\sin (x)$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 0 + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 7.1.3

Cộng $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ và $0$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 7.1.4

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.4.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 7.1.4.2

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) (\cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 7.1.4.3

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) (\cos (x))$ .

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 7.1.5

Để viết $\cos (x)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)})}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 7.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sin (x) \frac{1 + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 7.1.7

Nhân $\cos (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.7.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 7.1.7.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 7.1.7.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 7.1.7.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 7.2

Kết hợp $\sin (x)$ và $\frac{1 + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2})}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 7.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2})}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 7.4

Kết hợp.

$\frac{\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Bước 7.5

Triệt tiêu thừa số chung của $\sin (x)$ và ${\sin (x)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (x) ((1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1)}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Bước 7.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.2.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\cos (x) {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{\sin (x) ((1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Bước 7.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sin (x) ((1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Bước 7.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{(1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1}{\cos (x) \sin (x)}$

Bước 7.6

Nhân $1 + {\cos (x)}^{2}$ với $1$ .

$\frac{1 + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Bước 8

Xét vế trái của phương trình.

$\cot (x) + \sec (x) \csc (x)$

Bước 9

Quy đổi sang sin và cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết $\cot (x)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sec (x) \csc (x)$

Bước 9.2

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \csc (x)$

Bước 9.3

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\csc (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 10

Nhân $\frac{1}{\cos (x)}$ với $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Bước 11

Cộng các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Để viết $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Bước 11.2

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $\sin (x) \cos (x)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nhân $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ với $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Bước 11.2.2

Sắp xếp lại các thừa số của $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Bước 11.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + 1}{\cos (x) \sin (x)}$

Bước 12

Nhân $\cos (x) \cos (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1}{\cos (x) \sin (x)}$

Bước 13

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1 + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Bước 14

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\cot (x) + \sec (x) \csc (x) = \frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ là một đẳng thức