Lượng giác Ví dụ

$\frac{1}{1 + \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)} = - 2 \csc (x) \cot (x)$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$\frac{1}{1 + \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)}$

Bước 2

Trừ các phân số cho nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để viết $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)}$

Bước 2.2

Để viết $- \frac{1}{1 - \cos (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Bước 2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ với $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Bước 2.3.2

Nhân $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ với $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{1 + \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Bước 2.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{1 + \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 - \cos (x) - (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 - \cos (x) - 1 \cdot 1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 3.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - 1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 3.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0 - \cos (x) - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 3.3

Trừ $\cos (x)$ khỏi $0$ .

$\frac{- \cos (x) - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 3.4

Trừ $\cos (x)$ khỏi $- \cos (x)$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Khai triển $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 4.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 4.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

Bước 4.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Bước 5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 7

Viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 8

Kết hợp.

$\frac{- (2 \cos (x))}{1 \sin^{2} (x)}$

Bước 9

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \sin^{2} (x)}$

Bước 10

Nhân ${\sin (x)}^{2}$ với $1$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 12

Bây giờ hãy xét vế phải của phương trình.

$- 2 \csc (x) \cot (x)$

Bước 13

Quy đổi sang sin và cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\csc (x)$ .

$- 2 \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)$

Bước 13.2

Viết $\cot (x)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$- 2 \frac{1}{\sin (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{- 2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 14.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 14.3

Nhân $- \frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Nhân $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ với $\frac{2}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x) \sin (x)}$

Bước 14.3.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

Bước 14.3.3

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

Bước 14.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Bước 14.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 14.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (x)$ .

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 15

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\frac{1}{1 + \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)} = - 2 \csc (x) \cot (x)$ là một đẳng thức