Lượng giác Ví dụ

$2 \cos^{2} (22.5) - 1$

Bước 1

Giá trị chính xác của $\cos (22.5)$ là $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $22.5$ dưới dạng một góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết được chia cho $2$ .

$2 \cos^{2} (\frac{45}{2}) - 1$

Bước 1.2

Áp dụng đẳng thức góc chia đôi của cosin $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$2 {(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})}^{2} - 1$

Bước 1.3

Thay đổi $+$ thành $\pm$ vì cosin dương trong góc phần tư thứ nhất.

$2 {\sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}}^{2} - 1$

Bước 1.4

Giá trị chính xác của $\cos (45)$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 {\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} - 1$

Bước 1.5

Rút gọn $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$2 {\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} - 1$

Bước 1.5.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 {\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} - 1$

Bước 1.5.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$2 {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}^{2} - 1$

Bước 1.5.4

Nhân $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.1

Nhân $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$2 {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}^{2} - 1$

Bước 1.5.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$2 {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}^{2} - 1$

Bước 1.5.5

Viết lại $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2} - 1$

Bước 1.5.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.6.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2} - 1$

Bước 1.5.6.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$2 {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2} - 1$

Bước 2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$2 \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - 1$

Bước 3

Viết lại ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ ở dạng $2 + \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ ở dạng ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 1$

Bước 3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 1$

Bước 3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 1$

Bước 3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 1$

Bước 3.4.2

Viết lại biểu thức.

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}} - 1$

Bước 3.5

Rút gọn.

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2^{2}} - 1$

Bước 4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{4} - 1$

Bước 5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2 (2)} - 1$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - 1$

Bước 5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} - 1$

Bước 6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Bước 7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Bước 8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 + \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}$

Bước 9

Viết lại $\frac{2 + \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{2} - 2}{2}$

Bước 9.2

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\frac{0 + \sqrt{2}}{2}$

Bước 9.3

Cộng $0$ và $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Dạng thập phân:

$0.70710678 \dots$