Lượng giác Ví dụ

$\cos (\frac{π}{12}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{12})$ là $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia $\frac{π}{12}$ thành hai góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết.

$\cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 1.2

Áp dụng đẳng thức hiệu của góc $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$(\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 1.3

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 1.4

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{6})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 1.5

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 1.6

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{6})$ là $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 1.7

Rút gọn $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.1.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 1.7.1.1.2

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 1.7.1.1.3

Nhân $2$ với $3$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 1.7.1.1.4

Nhân $2$ với $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 1.7.1.2

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.2.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 1.7.1.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 1.7.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 2

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{11 π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 4

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{6})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 5

Nhân $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ với $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{3}}{4 \cdot 2} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 5.2

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 7

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 8

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 3} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 9

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $6$ với $3$ .

$\frac{\sqrt{18} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 9.2

Viết lại $18$ ở dạng $3^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $18$ .

$\frac{\sqrt{9 (2)} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 9.2.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 9.3

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 9.4

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 10

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{12})$ là $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Chia $\frac{π}{12}$ thành hai góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 10.2

Áp dụng công thức hiệu của góc.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 10.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 10.4

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{6})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 10.5

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 10.6

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{6})$ là $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 10.7

Rút gọn $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.1.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.1.1.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 10.7.1.1.2

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 10.7.1.1.3

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 10.7.1.1.4

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 10.7.1.2

Nhân $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.1.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 10.7.1.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 10.7.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (- \frac{π}{6})$

Bước 11

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (\frac{11 π}{6})$

Bước 12

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sin (\frac{π}{6}))$

Bước 13

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{6})$ là $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{1}{2})$

Bước 14

Nhân $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{1}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Nhân $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Bước 14.2

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}$

Bước 15

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}$

Bước 16

Viết lại $\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - - \sqrt{2}}{8}$

Bước 16.2

Nhân $- - \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + 1 \sqrt{2}}{8}$

Bước 16.2.2

Nhân $\sqrt{2}$ với $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}$

Bước 16.3

Cộng $3 \sqrt{2}$ và $\sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6}}{8}$

Bước 16.4

Trừ $\sqrt{6}$ khỏi $\sqrt{6}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} + 0}{8}$

Bước 16.5

Cộng $4 \sqrt{2}$ và $0$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{8}$

Bước 16.6

Rút gọn biểu thức $\frac{4 \sqrt{2}}{8}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 (\sqrt{2})}{8}$

Bước 16.6.2

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Bước 16.6.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Bước 16.6.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 17

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Dạng thập phân:

$0.70710678 \dots$