Lượng giác Ví dụ

$(4 \sqrt{3} - 4 i) \cdot (8 i)$

Bước 1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \sqrt{3} (8 i) - 4 i (8 i)$

Bước 2

Nhân $8$ với $4$ .

$32 \sqrt{3} i - 4 i (8 i)$

Bước 3

Nhân $- 4 i (8 i)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $8$ với $- 4$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 i i$

Bước 3.2

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i)$

Bước 3.3

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i^{1})$

Bước 3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$32 \sqrt{3} i - 32 i^{1 + 1}$

Bước 3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 i^{2}$

Bước 4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 \cdot - 1$

Bước 4.2

Nhân $- 32$ với $- 1$ .

$32 \sqrt{3} i + 32$

Bước 5

Sắp xếp lại $32 \sqrt{3} i$ và $32$ .

$32 + 32 \sqrt{3} i$

Bước 6

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 7

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 8

Thay các giá trị thực tế của $a = 32$ và $b = 32 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(32 \sqrt{3})}^{2} + 32^{2}}$

Bước 9

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $32 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{32^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}$

Bước 9.1.2

Nâng $32$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{1024 {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}$

Bước 9.2

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{1024 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 32^{2}}$

Bước 9.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 32^{2}}$

Bước 9.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 32^{2}}$

Bước 9.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 32^{2}}$

Bước 9.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3 + 32^{2}}$

Bước 9.2.5

Tính số mũ.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3 + 32^{2}}$

Bước 9.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nhân $1024$ với $3$ .

$| z | = \sqrt{3072 + 32^{2}}$

Bước 9.3.2

Nâng $32$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{3072 + 1024}$

Bước 9.3.3

Cộng $3072$ và $1024$ .

$| z | = \sqrt{4096}$

Bước 9.3.4

Viết lại $4096$ ở dạng $64^{2}$ .

$| z | = \sqrt{64^{2}}$

Bước 9.3.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| z | = 64$

Bước 10

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{32 \sqrt{3}}{32})$

Bước 11

Vì tang nghịch đảo của $\frac{32 \sqrt{3}}{32}$ tạo ra một góc trong góc phần tư thứ nhất, giá trị của góc là $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Bước 12

Thay các giá trị của $θ = \frac{π}{3}$ và $| z | = 64$ .

$64 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$