Lượng giác Ví dụ

${(2 - 2 i)}^{5}$

Bước 1

Sử dụng định lý nhị thức.

$2^{5} + 5 \cdot 2^{4} (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $5$ .

$32 + 5 \cdot 2^{4} (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Bước 2.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$32 + 5 \cdot 16 (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Bước 2.1.3

Nhân $5$ với $16$ .

$32 + 80 (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Bước 2.1.4

Nhân $- 2$ với $80$ .

$32 - 160 i + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Bước 2.1.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$32 - 160 i + 10 \cdot 8 {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Bước 2.1.6

Nhân $10$ với $8$ .

$32 - 160 i + 80 {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Bước 2.1.7

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 2 i$ .

$32 - 160 i + 80 ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Bước 2.1.8

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$32 - 160 i + 80 (4 i^{2}) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Bước 2.1.9

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$32 - 160 i + 80 (4 \cdot - 1) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Bước 2.1.10

Nhân $80 (4 \cdot - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.10.1

Nhân $4$ với $- 1$ .

$32 - 160 i + 80 \cdot - 4 + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Bước 2.1.10.2

Nhân $80$ với $- 4$ .

$32 - 160 i - 320 + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Bước 2.1.11

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 10 \cdot 4 {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Bước 2.1.12

Nhân $10$ với $4$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Bước 2.1.13

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 2 i$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Bước 2.1.14

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 i^{3}) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Bước 2.1.15

Đưa $i^{2}$ ra ngoài.

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Bước 2.1.16

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Bước 2.1.17

Viết lại $- 1 i$ ở dạng $- i$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (- i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Bước 2.1.18

Nhân $- 1$ với $- 8$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (8 i) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Bước 2.1.19

Nhân $8$ với $40$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Bước 2.1.20

Nhân $5$ với $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Bước 2.1.21

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 2 i$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 ({(- 2)}^{4} i^{4}) + {(- 2 i)}^{5}$

Bước 2.1.22

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $4$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 i^{4}) + {(- 2 i)}^{5}$

Bước 2.1.23

Viết lại $i^{4}$ ở dạng $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.23.1

Viết lại $i^{4}$ ở dạng ${(i^{2})}^{2}$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 {(i^{2})}^{2}) + {(- 2 i)}^{5}$

Bước 2.1.23.2

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 {(- 1)}^{2}) + {(- 2 i)}^{5}$

Bước 2.1.23.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 \cdot 1) + {(- 2 i)}^{5}$

Bước 2.1.24

Nhân $10 (16 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.24.1

Nhân $16$ với $1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 \cdot 16 + {(- 2 i)}^{5}$

Bước 2.1.24.2

Nhân $10$ với $16$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 + {(- 2 i)}^{5}$

Bước 2.1.25

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 2 i$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 + {(- 2)}^{5} i^{5}$

Bước 2.1.26

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $5$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 i^{5}$

Bước 2.1.27

Đưa $i^{4}$ ra ngoài.

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 (i^{4} i)$

Bước 2.1.28

Viết lại $i^{4}$ ở dạng $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.28.1

Viết lại $i^{4}$ ở dạng ${(i^{2})}^{2}$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 ({(i^{2})}^{2} i)$

Bước 2.1.28.2

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 ({(- 1)}^{2} i)$

Bước 2.1.28.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 (1 i)$

Bước 2.1.29

Nhân $i$ với $1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 i$

Bước 2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Trừ $320$ khỏi $32$ .

$- 288 - 160 i + 320 i + 160 - 32 i$

Bước 2.2.2

Cộng $- 288$ và $160$ .

$- 128 - 160 i + 320 i - 32 i$

Bước 2.2.3

Cộng $- 160 i$ và $320 i$ .

$- 128 + 160 i - 32 i$

Bước 2.2.4

Trừ $32 i$ khỏi $160 i$ .

$- 128 + 128 i$

Bước 3

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 4

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 5

Thay các giá trị thực tế của $a = - 128$ và $b = 128$ .

$| z | = \sqrt{128^{2} + {(- 128)}^{2}}$

Bước 6

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nâng $128$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{16384 + {(- 128)}^{2}}$

Bước 6.2

Nâng $- 128$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{16384 + 16384}$

Bước 6.3

Cộng $16384$ và $16384$ .

$| z | = \sqrt{32768}$

Bước 6.4

Viết lại $32768$ ở dạng $128^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Đưa $16384$ ra ngoài $32768$ .

$| z | = \sqrt{16384 (2)}$

Bước 6.4.2

Viết lại $16384$ ở dạng $128^{2}$ .

$| z | = \sqrt{128^{2} \cdot 2}$

Bước 6.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| z | = 128 \sqrt{2}$

Bước 7

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{128}{- 128})$

Bước 8

Vì tang nghịch đảo của $\frac{128}{- 128}$ tạo ra một góc trong góc phần tư thứ hai, giá trị của góc là $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Bước 9

Thay các giá trị của $θ = \frac{3 π}{4}$ và $| z | = 128 \sqrt{2}$ .

$128 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$