Lượng giác Ví dụ

$\csc^{4} (x) - \cot^{4} (x) = \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$\csc^{4} (x) - \cot^{4} (x)$

Bước 2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $\csc^{4} (x)$ ở dạng ${(\csc^{2} (x))}^{2}$ .

${(\csc^{2} (x))}^{2} - \cot^{4} (x)$

Bước 2.2

Viết lại $\cot^{4} (x)$ ở dạng ${(\cot^{2} (x))}^{2}$ .

${(\csc^{2} (x))}^{2} - {(\cot^{2} (x))}^{2}$

Bước 2.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \csc^{2} (x)$ và $b = \cot^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)) (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x))$

Bước 2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$({(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} + \cot^{2} (x)) (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x))$

Bước 2.4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$(\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} + \cot^{2} (x)) (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x))$

Bước 2.4.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \cot^{2} (x)) (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x))$

Bước 2.4.4

Viết lại $\cot (x)$ theo sin và cosin.

$(\frac{1}{\sin^{2} (x)} + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}) (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x))$

Bước 2.4.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$(\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x))$

Bước 2.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$(\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) \cdot 1$

Bước 2.6

Nhân $\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ với $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 3

Bây giờ hãy xét vế phải của phương trình.

$\csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)$

Bước 4

Quy đổi sang sin và cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\csc (x)$ .

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} + \cot^{2} (x)$

Bước 4.2

Viết $\cot (x)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Bước 4.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Bước 4.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 6

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\csc^{4} (x) - \cot^{4} (x) = \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)$ là một đẳng thức