Lượng giác Ví dụ

$\frac{\tan (x) + \cot (x)}{\tan (x)} = \csc^{2} (x)$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$\frac{\tan (x) + \cot (x)}{\tan (x)}$

Bước 2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x)}{\tan (x)}$

Bước 2.1.2

Viết lại $\cot (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\tan (x)}$

Bước 2.2

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Bước 2.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 2.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 2.5

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 2.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 2.6

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 2.6.2

Viết lại biểu thức.

$1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 2.7

Nhân $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Nhân $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ với $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Bước 2.7.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$1 + \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Bước 2.7.3

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$1 + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Bước 2.7.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$1 + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)}$

Bước 2.7.5

Cộng $1$ và $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Bước 2.7.6

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)}$

Bước 2.7.7

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}$

Bước 2.7.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Bước 2.7.9

Cộng $1$ và $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 3

Áp dụng đẳng thức Pytago đảo.

$1 + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$1 + \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 4.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = \sin (x)$ .

$1 + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 4.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{{\sin (x)}^{2} + (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 4.4

Rút gọn tử số.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Bước 5

Viết lại $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ ở dạng $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x)$

Bước 6

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\frac{\tan (x) + \cot (x)}{\tan (x)} = \csc^{2} (x)$ là một đẳng thức