Lượng giác Ví dụ

$4 \sin^{2} (x) = 5 + 4 \cos (x)$

Bước 1

Chuyển tất cả các biểu thức sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 \sin^{2} (x) - 5 = 4 \cos (x)$

Bước 1.2

Trừ $4 \cos (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 \sin^{2} (x) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Bước 2

Thay thế $4 \sin^{2} (x)$ bằng $4 (1 - \cos^{2} (x))$ dựa trên đẳng thức $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \cos^{2} (x)) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Bước 3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \cdot 1 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Bước 3.2

Nhân $4$ với $1$ .

$4 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Bước 3.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$4 - 4 \cos^{2} (x) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Bước 4

Trừ $5$ khỏi $4$ .

$- 4 \cos^{2} (x) - 1 - 4 \cos (x) = 0$

Bước 5

Sắp xếp lại đa thức.

$- 4 \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) - 1 = 0$

Bước 6

Thay $u$ bằng $\cos (x)$ .

$- 4 {(u)}^{2} - 4 u - 1 = 0$

Bước 7

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 u^{2} - 4 u - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 u^{2}$ .

$- (4 u^{2}) - 4 u - 1 = 0$

Bước 7.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 u$ .

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 = 0$

Bước 7.1.3

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Bước 7.1.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (4 u^{2}) - (4 u)$ .

$- (4 u^{2} + 4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Bước 7.1.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (4 u^{2} + 4 u) - 1 (1)$ .

$- (4 u^{2} + 4 u + 1) = 0$

Bước 7.2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Viết lại $4 u^{2}$ ở dạng ${(2 u)}^{2}$ .

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1) = 0$

Bước 7.2.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1^{2}) = 0$

Bước 7.2.3

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

Bước 7.2.4

Viết lại đa thức này.

$- ({(2 u)}^{2} + 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Bước 7.2.5

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = 2 u$ và $b = 1$ .

$- {(2 u + 1)}^{2} = 0$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ cho $- 1$ .

$\frac{- {(2 u + 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{{(2 u + 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Bước 8.2.2

Chia ${(2 u + 1)}^{2}$ cho $1$ .

${(2 u + 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Chia $0$ cho $- 1$ .

${(2 u + 1)}^{2} = 0$

Bước 9

Đặt $2 u + 1$ bằng $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Bước 10

Giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 u = - 1$

Bước 10.2

Chia mỗi số hạng trong $2 u = - 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 u = - 1$ cho $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 10.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 10.2.2.1.2

Chia $u$ cho $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Bước 10.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$u = - \frac{1}{2}$

Bước 11

Thay $\cos (x)$ bằng $u$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Bước 12

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Bước 13

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Giá trị chính xác của $\arccos (- \frac{1}{2})$ là $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Bước 14

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Bước 15

Rút gọn $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Bước 15.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Bước 15.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Bước 15.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.1

Nhân $3$ với $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Bước 15.3.2

Trừ $2 π$ khỏi $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Bước 16

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 16.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 16.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 16.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 17

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$