Lượng giác Ví dụ

$\cos (\frac{11 π}{12}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{11 π}{12})$ là $- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$- \cos (\frac{π}{12}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.1.2

Chia $\frac{π}{12}$ thành hai góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết.

$- \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.1.3

Áp dụng đẳng thức hiệu của góc $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$- (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.1.5

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{6})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.1.6

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.1.7

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{6})$ là $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.1.8

Rút gọn $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.1.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.1.1.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.1.8.1.1.2

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$- (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.1.8.1.1.3

Nhân $2$ với $3$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.1.8.1.1.4

Nhân $2$ với $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.1.8.1.2

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.1.2.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.1.8.1.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.1.8.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.2

$- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (- \cos (\frac{π}{3})) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.3

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (- \frac{1}{2}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.4

Nhân $- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (- \frac{1}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \frac{1}{2} + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.4.2

Nhân $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ với $1$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2} + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.4.3

Nhân $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 \cdot 2} + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.4.4

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.5

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{11 π}{12})$ là $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.5.2

Chia $\frac{π}{12}$ thành hai góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.5.3

Áp dụng công thức hiệu của góc.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.5.4

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.5.5

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{6})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.5.6

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.5.7

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{6})$ là $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.5.8

Rút gọn $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.8.1.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.8.1.1.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.5.8.1.1.2

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.5.8.1.1.3

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.5.8.1.1.4

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.5.8.1.2

Nhân $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.8.1.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.5.8.1.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.5.8.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.6

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (\frac{π}{3})$

Bước 1.7

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 1.8

Nhân $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Nhân $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ với $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{3}}{4 \cdot 2}$

Bước 1.8.2

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{3}}{8}$

Bước 1.9

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{3}}{8}$

Bước 1.10

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6 \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{3}}{8}$

Bước 1.11

Nhân $- \sqrt{2} \sqrt{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.11.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6 \cdot 3} - \sqrt{3 \cdot 2}}{8}$

Bước 1.11.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6 \cdot 3} - \sqrt{6}}{8}$

Bước 1.12

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.1

Nhân $6$ với $3$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{18} - \sqrt{6}}{8}$

Bước 1.12.2

Viết lại $18$ ở dạng $3^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $18$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{9 (2)} - \sqrt{6}}{8}$

Bước 1.12.2.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} - \sqrt{6}}{8}$

Bước 1.12.3

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8}$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8}$

Bước 2.2

Trừ $\sqrt{6}$ khỏi $\sqrt{6}$ .

$\frac{0 + \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{8}$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{8}$

Bước 2.4

Cộng $\sqrt{2}$ và $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{8}$

Bước 2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 (\sqrt{2})}{8}$

Bước 2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Bước 2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Bước 2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 3

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Dạng thập phân:

$0.70710678 \dots$